В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AD. Най­ди­те угол ABD, если угол BAD равен 29° и угол ACB равен 55°.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 48. Плос­кость, па­рал­лель­ная плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит его вы­со­ту на от­рез­ки дли­ной 15 и 45, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са этой плос­ко­стью.

Иг­раль­ный кубик бро­са­ют два­жды. Сколь­ко эле­мен­тар­ных ис­хо­дов опыта бла­го­при­ят­ству­ют со­бы­тию А = {сумма очков равна 2}?

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те если  при

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x) и от­ме­че­ны семь точек на оси абс­цисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на?

В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми и их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше 9 Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 6 часов, а дру­гой  — за 3 часа. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На рёбрах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM : BM  =  CN : NB  =  1 : 2. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Найти от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну B тре­уголь­ни­ка ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке D, такой, что BD  — бис­сек­три­са угла B, и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках E и F со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что AE : CF  =  AB : BC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AED и DFC, если из­вест­но, что AE : CF  =  2 : 3.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 4-⁠го клас­са, по есте­ство­зна­нию в 2007 году (по 1000-⁠балль­ной шкале). По дан­ным диа­грам­мы най­ди­те число стран, в ко­то­рых сред­ний балл участ­ни­ков выше, чем в Вен­грии.

Павел Ива­но­вич купил аме­ри­кан­ский ав­то­мо­биль, спи­до­метр ко­то­ро­го по­ка­зы­ва­ет ско­рость в милях в час. Ка­ко­ва ско­рость ав­то­мо­би­ля в ки­ло­мет­рах в час, если спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет 54 мили в час? Счи­тай­те, что 1 миля равна 1609 м. Ответ округ­ли­те до це­ло­го числа.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 1 изоб­ражён угол. Най­ди­те тан­генс этого угла.

Среди обык­но­вен­ных дро­бей с по­ло­жи­тель­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми, рас­по­ло­жен­ных между чис­ла­ми и най­ди­те такую, зна­ме­на­тель ко­то­рой ми­ни­ма­лен.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 16 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом опла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 15-⁠й (с ян­ва­ря 2027 года по март 2028 года вклю­чи­тель­но) долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15 марта 2028 года долг со­ста­вит 200 тысяч руб­лей;

—  15 ап­ре­ля 2028 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма пла­те­жей после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 612 тысяч руб­лей?