Бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равны 11 и 1. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции.

Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми E и B₂ мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

Перед на­ча­лом во­лей­боль­но­го матча ка­пи­та­ны ко­манд тянут жре­бий, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Ротор» по оче­ре­ди иг­ра­ет с ко­ман­да­ми «Ста­тор», «Стартёр» и «Мотор». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что «Ротор» будет на­чи­нать с мячом толь­ко вто­рую игру.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при b  =  5.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−7; 5). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

Опор­ные баш­ма­ки ша­га­ю­ще­го экс­ка­ва­то­ра, име­ю­ще­го массу  тонн пред­став­ля­ют собой две пу­сто­те­лые балки дли­ной  мет­ров и ши­ри­ной s мет­ров каж­дая. Дав­ле­ние экс­ка­ва­то­ра на почву, вы­ра­жа­е­мое в ки­ло­пас­ка­лях, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где m  — масса экс­ка­ва­то­ра (в тон­нах), l  — длина балок в мет­рах, s  — ши­ри­на балок в мет­рах, g  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те м/с). Опре­де­ли­те наи­мень­шую воз­мож­ную ши­ри­ну опор­ных балок, если из­вест­но, что дав­ле­ние p не долж­но пре­вы­шать 200 кПа. Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

Из пунк­та A в пункт B од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Пер­вый про­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью весь путь. Вто­рой про­ехал первую по­ло­ви­ну пути со ско­ро­стью 44 км/ч, а вто­рую по­ло­ви­ну пути  — со ско­ро­стью, на 21 км/ч боль­шей ско­ро­сти пер­во­го, в ре­зуль­та­те чего при­был в В од­но­вре­мен­но с пер­вым ав­то­мо­би­лем. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки К и М со­от­вет­ствен­но, причём AK : KB  =  SM : MC  =  1 : 5. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую КМ и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Раз­ра­бо­тав биз­нес-про­ект, пред­при­ни­ма­тель Арина Ан­дре­ев­на взяла в банке кре­дит на 3 года. Усло­вия по­га­ше­ния кре­ди­та та­ко­вы: по про­ше­ствии каж­до­го года банк на­чис­ля­ет 20% на долг, ко­то­рый имеет пред­при­ни­ма­тель на конец этого года. После этого пред­при­ни­ма­тель вно­сит еже­год­ный пла­теж, ко­то­рый в пер­вый год равен х руб­лей, во вто­рой год  — руб­лей, в тре­тий год  — руб­лей, и этим пла­те­жом за­кры­ва­ет­ся кре­дит. Сколь­ко руб­лей пред­при­ни­ма­тель Арина Ан­дре­ев­на вы­пла­ти­ла банку, если из­вест­но, что общая сумма пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 149 000 руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит?

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 36. Точки E и F  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок EF ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

а)  До­ка­жи­те, что AC  =  9.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно одно ре­ше­ние.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена нефти на мо­мент за­кры­тия бир­же­вых тор­гов во все ра­бо­чие дни с 4 по 19 ап­ре­ля 2002 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — цена бар­ре­ля нефти в дол­ла­рах США. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа цена нефти на мо­мент за­кры­тия тор­гов была наи­боль­шей за дан­ный пе­ри­од.

В сен­тяб­ре 1 кг слив стоил 60 руб­лей. В ок­тяб­ре сливы по­до­ро­жа­ли на 25%. Сколь­ко руб­лей стоил 1 кг слив после по­до­ро­жа­ния в ок­тяб­ре?

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Сумма двух на­ту­раль­ных чисел равна 43, а их наи­мень­шее общее крат­ное в 120 раз боль­ше их наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля. Най­ди­те эти числа.