Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 7 и 13, а ее пло­щадь равна 40. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции.

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем 14 сумок из 130 имеют скры­тые де­фек­ты. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся без де­фек­тов. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x  — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t  — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/⁠с?

Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где h  — вы­со­та в мет­рах, t  — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее 3 мет­ров?

От при­ста­ни A к при­ста­ни B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 182 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 1 час после этого сле­дом за ним со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да, если в пункт B он при­был од­но­вре­мен­но с пер­вым. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 4. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на срок семь лет в раз­ме­ре S млн руб. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле 2021, 2022, 2023 и 2024 годов долг остаётся рав­ным S руб.;

—  вы­пла­ты 2025, 2026 и 2027 годах равны 2,16 млн руб.;

—  к июлю 2027 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те r и S, если из­вест­но, что сумма всех вы­плат со­ста­вит 10,12 млн руб.

Пер­вая окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны А и В тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AC и BC в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но. Вто­рая окруж­ность про­хо­дит через точки D и E и пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ния сто­рон BC и AC за вер­ши­ну C в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN па­рал­лель­на пря­мой AB.

б)  Пря­мые MD и NE вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют первую окруж­ность в точ­ках X и Y со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те ее ра­ди­ус, если a AB  =  4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Най­ди­те это ре­ше­ние для каж­до­го зна­че­ния

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся от на­чаль­но­го до ко­неч­но­го по­ло­же­ния. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её дви­же­ния. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в се­кун­дах, на оси ор­ди­нат  — рас­сто­я­ние от на­чаль­но­го по­ло­же­ния точки (в мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния точки. Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.

Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 24% и со­ста­ви­ла 2480 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

За круг­лым сто­лом си­де­ли 110 че­ло­век, а на столе ле­жа­ли аб­ри­ко­сы. Для каж­дой пары со­се­дей число съе­ден­ных ими аб­ри­ко­сов от­ли­ча­ет­ся на 3.

а)  Могли ли быть съе­де­ны все аб­ри­ко­сы, если из­на­чаль­но их было 1000?

б)  Какое наи­мень­шее число аб­ри­ко­сов могло остать­ся, если из­на­чаль­но их было 1000?

в)  Пусть один из при­сут­ству­ю­щих съел a аб­ри­ко­сов, а дру­гой b. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние a − b при усло­вии, что из­на­чаль­но было 10 000 аб­ри­ко­сов.