1. Тип 13 № 514609 
Источники:
Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций, Формулы приведения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Разложим на множители:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа: 
и 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 514609
а) б)
б) 
следовательно, 
Значит, М — середина СС1.
Значит, 
В треугольнике RPM находим стороны: 
По теореме косинусов
уравнение плоскости APQ имеет вид 
Координаты точки М() с координатами
получим:
тогда неравенство принимает вид:
или 
получаем: 
откуда 
получаем: 
откуда 
и 
Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда 
(рис. 2).
и 
и 
Тогда 
следовательно, 
В равнобедренном треугольнике MPQ имеем: 
Тогда для площади треугольника MPQ получаем:
то получаем уравнение 
то координаты любой точки прямой 
удовлетворяют уравнению.
то получаем уравнение 
параболы 
c концом в точке 
во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 3, в третьем — дугу 
параболы 
с концом в точке А (см. рис.). 
или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a = −3.
и 
как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при 
и 
прямые m касаются дуг 
имеет две общие точки с дугой 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
или 
; возможно, с включением граничных точек
и 
то есть А не превосходит 
Очевидно, что В не может быть больше 5. Значит,
