Функции, зависящие от параметра
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции 
не меньше 1.
Снимем модуль, получим:
Функция f определена и непрерывна на всей вещественной оси, ее график состоит из частей двух парабол, ветви которых направлены вниз. Рассмотрим оба случая.
Если 
то 
Этот квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом принимает максимальное значение при 
Находим:
Найденное значение должно быть не меньше 1, откуда 
При таких значениях параметра для 
выполнено условие 
Если 
то 
Этот квадратный трехчлен принимает наибольшее значение в точке 
Находим:
Найденное значение должно быть не меньше 1, откуда 
При таких значениях параметра для 
выполнено условие 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. В самом деле, 
Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения 
Поскольку 
это уравнение равносильно совокупности
Эта совокупность имеет решения если 
или если 
то есть при 
или 
Ответ:
Приведем еще одно решение.
Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к минус бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наибольшего значения. Тогда для того, чтобы наибольшее значение функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы неравенство 
имело решение. Запишем его в виде
и построим графики левой и правой частей неравенства.
График правой части неравенства — парабола, полученная из параболы, задаваемой уравнением 
сдвигом на 1 вверх вдоль оси ординат. График правой части неравенства получается сдвигом графика функции 
сдвигом на |a| единиц вдоль оси абсцисс вправо или влево в зависимости от знака a.
Пусть при 
правая ветвь графика модуля касается параболы, а при 
— левая (см. рис.). Тогда при 
парабола целиком лежит выше графика модуля и неравенство не имеет решений. При прочих значениях параметра неравенство имеет решения, поэтому осталось установить значения, соответствующие касанию.
При 
в силу равенства 
получаем уравнение 
или 
Случаю касания соответствует единственное решение этого уравнения, поэтому его дискриминант должен быть равен нулю: 
откуда 
Аналогично для 
получаем уравнение 
откуда находим 
или 
Тем самым,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра. | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше, чем 
При 
то есть на отрезке 
функция имеет вид
а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка функция имеет вид
а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
Возможное расположение этих парабол показано на рисунках.
Если 
принадлежит отрезку 
то наименьшее значение функция может принимать только в точках 
и 
Если 
— то в точке Наименьшее значение функции 
больше 
тогда и только тогда, когда:
либо 
либо 
Решим первую систему:
Решим вторую систему:
Ответ: 
Приведём другое решение.
При то есть на отрезке функция имеет вид
а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка функция имеет вид
а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
Следовательно, наименьшее значение функция может принять только в точках 
или Поэтому наименьшее значение функции больше −24 тогда и только тогда, когда 
и 
Имеем:
Приведём ещё одно решение.
Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Следовательно, она достигает своего наименьшего значения. Наименьшее значение больше −24 тогда и только тогда, когда все значения функции больше −24. Поэтому необходимо и достаточно найти такие значения параметра, при которых неравенство 
верно для всех х.
Положим 
и запишем неравенство в виде
Определим значения k, при которых график левой части неравенства лежит выше графика правой части. График правой части — прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через точку (0; −24). График левой части неравенства вне отрезка [1; 5] совпадает с параболой 
а на этом отрезке является отражением лежащей ниже оси абсцисс части этой параболы в верхнюю полуплоскость (см. рис.).
Найдем значения параметра, соответствующие касанию прямой 
и параболы 
Для этого приравняем к нулю дискриминант квадратного уравнения 
Покажем, что при 
касание происходит именно с графиком функции 
а не с лежащей ниже оси абсцисс частью параболы 
Рассмотрим прямую p, проходящую через точки с координатами (0; −24) и (5; 0). Определим ее угловой коэффициент: 
Сравним угловые коэффициенты k1 и k2:
Следовательно, 
а потому справа от общей точки (0; −24) касательная проходит ниже прямой p и, значит, касается параболы в точке лежащей выше оси абсцисс. Тем самым подходят все значения k такие, что: 
Возвращаясь к параметру a, получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке. | 2 |
| Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
на множестве 
не менее 6.
Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты 
Значит, минимум функции на всей числовой оси достигается при 
На множестве эта функция достигает наименьшего значения либо в точке 
если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек 
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,
откуда получаем систему неравенств
решение которой 
При 
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в точке 
и 
что удовлетворяет условию задачи.
При 
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек 
в которых значение функции не меньше 6.
При 
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в точке и 
что не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены искомые значения, возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки). | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено одно значение параметра (возможно неверное из-за одной вычислительной ошибки), а второе значение потеряно в результате ошибки (например «потеряны» модули). | 2 |
| Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков неравенства и уравнения (приведен правильный рисунок). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найти все значения a, при каждом из которых функция
имеет более двух точек экстремума.
1. Функция имеет вид
а) при 
поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
б) при 
поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
2. Все возможные виды графиков функции показаны на рисунках:
Графики обеих квадратичных функции проходят через точку 
3. Функция 
имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1):
Ответ: 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
имеет единственное целое решение.
Пусть
тогда 
при этом, если x — целое, то y — также целое число.
Неравенство имеет вид 
Построим график функции 
при находим, что эта функция монотонно возрастает. Следовательно, если 
является решением неравенства при некотором a, то все 
также являются решениями.
Значит, если есть решение 
то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: 
Следовательно, 
и, стало быть, 
Значит, должно выполняться двойное неравенство: 
откуда
Решение первого неравенства: 
Второе неравенство выполняется при всех 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки. | 3 |
| Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных ответов потеряна. | 2 |
| Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх