При то есть на от­рез­ке функ­ция имеет вид

а её гра­фик пред­став­ля­ет собой часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз. Вне от­рез­ка функ­ция имеет вид

а ее гра­фик со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх, и осью сим­мет­рии Воз­мож­ное рас­по­ло­же­ние этих па­ра­бол по­ка­за­но на ри­сун­ках.

Если при­над­ле­жит от­рез­ку то наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках и Если   — то в точке Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше тогда и толь­ко тогда, когда:

Решим первую си­сте­му:

Решим вто­рую си­сте­му:

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

При то есть на от­рез­ке функ­ция имеет вид

а её гра­фик пред­став­ля­ет собой часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз. Вне от­рез­ка функ­ция имеет вид

а ее гра­фик со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх, и осью сим­мет­рии

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­нять толь­ко в точ­ках или По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше −24 тогда и толь­ко тогда, когда и Имеем:

При­ведём ещё одно ре­ше­ние.

За­дан­ная функ­ция не­пре­рыв­на и на бес­ко­неч­но­стях стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, она до­сти­га­ет сво­е­го наи­мень­ше­го зна­че­ния. Наи­мень­шее зна­че­ние боль­ше −24 тогда и толь­ко тогда, когда все зна­че­ния функ­ции боль­ше −24. По­это­му не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но найти такие зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­рых не­ра­вен­ство верно для всех х.

По­ло­жим и за­пи­шем не­ра­вен­ство в виде

Опре­де­лим зна­че­ния k, при ко­то­рых гра­фик левой части не­ра­вен­ства лежит выше гра­фи­ка пра­вой части. Гра­фик пра­вой части  — пря­мая с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том k, про­хо­дя­щая через точку (0; −24). Гра­фик левой части не­ра­вен­ства вне от­рез­ка [1; 5] сов­па­да­ет с па­ра­бо­лой а на этом от­рез­ке яв­ля­ет­ся от­ра­же­ни­ем ле­жа­щей ниже оси абс­цисс части этой па­ра­бо­лы в верх­нюю по­лу­плос­кость (см. рис.).

Най­дем зна­че­ния па­ра­мет­ра, со­от­вет­ству­ю­щие ка­са­нию пря­мой и па­ра­бо­лы Для этого при­рав­ня­ем к нулю дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния

По­ка­жем, что при ка­са­ние про­ис­хо­дит имен­но с гра­фи­ком функ­ции а не с ле­жа­щей ниже оси абс­цисс ча­стью па­ра­бо­лы Рас­смот­рим пря­мую p, про­хо­дя­щую через точки с ко­ор­ди­на­та­ми (0; −24) и (5; 0). Опре­де­лим ее уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент: Срав­ним уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты k₁ и k₂:

Сле­до­ва­тель­но, а по­то­му спра­ва от общей точки (0; −24) ка­са­тель­ная про­хо­дит ниже пря­мой p и, зна­чит, ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы в точке ле­жа­щей выше оси абс­цисс. Тем самым под­хо­дят все зна­че­ния k такие, что: Воз­вра­ща­ясь к па­ра­мет­ру a, по­лу­ча­ем:

1.  Функ­ция имеет вид:

a)  при

а ее гра­фик со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх и осью сим­мет­рии

б)  при

а её гра­фик пред­став­ля­ет собой часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз.

2.  Если при­над­ле­жит от­рез­ку то наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках и Если   — то еще и в точке

3.  Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше тогда и толь­ко тогда, когда либо

Решим первую си­сте­му:

Решим вто­рую си­сте­му:

Ответ:

1.  При функ­ция имеет вид:

а её гра­фик пред­став­ля­ет собой часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз.

При функ­ция имеет вид:

а ее гра­фик со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх и осью сим­мет­рии

2.  Если при­над­ле­жит от­рез­ку то наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках и Если   — то еще и в точке

3.  Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше тогда и толь­ко тогда, когда либо

Решим первую си­сте­му:

Решим вто­рую си­сте­му:

Ответ:

При по­лу­ча­ем, что Гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх, и осью сим­мет­рии При на­хо­дим а гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке  — часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз.

Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции может при­нять толь­ко в точ­ках или По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше 1 тогда и толь­ко тогда, когда:

Если то вто­рое не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид от­ку­да Этот про­ме­жу­ток со­дер­жит ин­тер­вал

Если то от­ку­да Зна­чит,

Объ­еди­няя най­ден­ные про­ме­жут­ки, по­лу­ча­ем:

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

1.  При функ­ция при­ни­ма­ет вид: а ее гра­фик есть две части па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх и осью сим­мет­рии

При функ­ция при­ни­ма­ет вид: а ее гра­фик есть часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз и осью сим­мет­рии

Воз­мож­ные виды гра­фи­ка функ­ции по­ка­за­ны на ри­сун­ках.

2.  Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках или а если (то есть при ), то в точке

3.  Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше тогда и толь­ко тогда, когда:

Ответ:

Рас­крыв мо­дуль по­лу­чим, что

На лучах и гра­фик функ­ции пред­став­ля­ет собой па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. На от­рез­ке [1; 3] гра­фик функ­ции пред­став­ля­ет собой па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз. Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся либо на краях от­рез­ка [1; 3] или в вер­ши­не па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, то есть в одной из трёх точек или при усло­вии Для вы­пол­не­ния усло­вия за­да­чи дол­жен быть вы­пол­нен один из двух слу­ча­ев:

То есть

Ответ: