Рассмотрим первое неравенство системы. Поскольку перепишем это неравенство так: Разделим обе части последнего неравенства на

Введем новую переменную. Пусть Тогда:

Перейдем к переменной

Решения первого неравенства системы:

Решим второе неравенство системы. Ограничения на

В левой части неравенства перейдем к логарифмам по основанию 2:

Пусть тогда

Полученное неравенство решим методом интервалов.

Интервалы
Знак рационального выражения на интервалах	+	−	+	−	+

Получили: Перейдем к переменной

Решения второго неравенства системы:

Найдем пересечение решений обоих неравенств системы:

Искомым пересечением является множество

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство системы:

Решения второго неравенства системы:

Теперь решим первое неравенство системы. Прежде найдем ограничения на

Для таких значений будем иметь:

Поскольку то

С учетом ограничений на решения рассматриваемого неравенства:

Пересечение решений обоих неравенств:

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы:

Решения первого неравенства системы:

Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на

Итак, второе неравенство имеет смысл, если Для таких значений будем иметь:

Поскольку рассматриваемое неравенство имеет смысл только при положительных значениях х, то на данном этапе нам достаточно решить неравенство на множестве Очевидно, искомыми значениями переменной будут элементы множества Ясно, что пересечением решений обоих неравенств системы будет множество

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы:

Решения первого неравенства системы:

Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на

Таким образом, искомые значения могут принадлежать только множеству На этом множестве будем иметь:

Пусть Тогда:

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Получили: То есть:

Решения второго неравенства с учетом ограничений на Пересечение решений обоих неравенств системы:

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы:

Пусть

Тогда:

Решения первого неравенства системы:

Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на

Итак, второе неравенство имеет смысл, если

Для таких значений будем иметь:

Решения последнего неравенства получим методом интервалов.

Решения последнего неравенства:

С учетом ограничений получим:

Пересечение решений обоих неравенств системы:

Ответ:

Решим первое неравенство:

Неравенство решений не имеет.

Решения первого неравенства системы — множество

Теперь решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на

Таким образом, решения второго неравенства системы будем искать на множестве На этом множестве:

С учетом ограничений на х получим решения второго неравенства системы:

Для получения решения исходной системы докажем неравенство

Следовательно, неравенство верно. В таком случае решениями заданной системы будут элементы множества

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство системы. Найдем ограничения на

Для таких

Очевидно, что при всех

следовательно, второе неравенство системы решений не имеет. А это значит, что исследование первого неравенства той же системы не имеет никакого смысла, у системы решений нет.

Ответ: решений нет.

Преобразуем первое неравенство:

Пусть тогда заданное неравенство будет иметь вид: Известно, что для любых действительных чисел и выполняется неравенство треугольника: Следовательно, в нашем случае рассматриваемое неравенство будет иметь место только в том случае, если выполняется равенство Но такое возможно, при одном условии: либо и оба неотрицательны, либо оба неположительны, т. е. справедливо неравенство

Решим неравенство

Итак, решениями первого неравенства системы являются элементы множества

Решим второе неравенство системы. Перейдем в логарифмах к основанию 2.

Таким образом, решения второго неравенства системы – множество

Найдем пересечение решений обоих неравенств. Но прежде докажем неравенство

Для доказательства неравенства достаточно показать, что и

Значит,

Итак, решения системы — множество

Ответ:

Решим второе неравенство:

Неравенство решений не имеет.

Итак, решения второго неравенства системы — множество

Теперь решим первое неравенство системы на множестве решений второго неравенства, т.е. на множестве Найдем ограничения на включая также условие Получим:

Для таких

Найдем корни квадратного трехчлена

Полученное неравенство решим методом интервалов. Прежде докажем, что Действительно,

Интервалы
Знак левой части неравенства	+	–	+

Таким образом, решения системы:

Ответ:

Преобразуем первое неравенство:

Заметим, что выражения и являются взаимно обратными. Второе из них имеет смысл при выполнении условия т. е. при Следовательно, решения первого неравенства системы следует искать на множестве

Пусть Тогда первое неравенство примет вид: или Найдем корни левой части этого неравенства:

Таким образом, при

Перейдем к переменной Будем иметь:

Решения первого неравенства системы множество

Рассмотрим второе неравенство системы на Найдем ограничения на

Докажем, что

Ограничения на с учетом решений первого неравенства выглядят так:

То есть решения неравенства будут принадлежать множеству

На этом множестве:

Найдем корни числителя левой части последнего неравенства:

Итак,

Прежде чем получить окончательный результат докажем неравенство Действительно,

При любом значении удовлетворяющему условию выполняются неравенства: Следовательно, на множестве

Решения исходной системы:

Ответ:

Решим первое неравенство системы:

Заметим, что обе части последнего неравенства положительны, числители равны, следовательно, неравенство будет верным при значениях при которых выполняется неравенство которое равносильно неравенству Решим последнее неравенство:

Итак, решения первого неравенства системы:

Теперь решим второе неравенство системы на множестве решений первого неравенства. Найдем ограничения на с учетом решений первого неравенства:

Рассмотрим второе неравенство системы на множестве

Заметим, что при любом значении будут выполнены неравенства: следовательно, последняя система примет вид: что равносильно неравенству Если рассмотреть второе неравенство на множестве то получим аналогичный результат только с той разницей, что и придём к системе неравенств что, в свою очередь, равносильно неравенству Таким образом, решения исходной системы

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Найдём ограничения на

Для таких

По основному логарифмическому тождеству будем иметь: Далее:

Последнее неравенство справедливо лишь при Таким образом, множество решений первого неравенства системы Теперь рассмотрим второе неравенство системы на множестве решений первого неравенства. Легко заметить, что при выполнении условия также выполняются неравенства:

Далее воспользуемся методом рационализации. Имеем:

Для всех также выполняются неравенства: В таком случае:

Итак, решения исходной системы — множество

Ответ:

Исследуем второе неравенство системы:

Левая часть этого неравенства представляет из себя квадратный трехчлен относительно функции Однако, четверть его дискриминанта меньше нуля

Следовательно, упомянутый квадратный трехчлен строго положителен при всех значениях т. е. второе неравенство системы невыполнимо ни при каких значениях переменной. Отсюда вывод — система несовместна.

Ответ: решений нет.

Замечание.

У первого неравенства решения есть. Их можно получить следующим образом. Найдем ограничения на

Для таких будем иметь:

Решения последнего неравенства получим методом интервалов:

Решения первого неравенства системы:

Решим первое неравенство:

Ограничения на

Для таких будем иметь:

Рассмотрим второе неравенство системы:

Очевидно, что решения исходной системы — множество

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Найдем ограничения на

Для таких

С учётом ограничений получим множество решений рассматриваемого неравенства:

Решим второе неравенство системы:

Ясно, что пересечение решений обоих неравенств системы есть множество

Ответ:

Решим второе неравенство системы:

Решения рассматриваемого неравенства:

Теперь решим первое неравенство системы на полученном множестве. Найдем ограничения на включая также решения второго неравенства системы:

Неравенство запишем так: Логарифмы приведём к основанию 2. Получим: Решим его на полученном множестве

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы. Найдем ограничения на

Для таких

Поскольку то последнее неравенство равносильно неравенству откуда С учетом ограничений на получим:

Теперь решим второе неравенство системы. Рассмотрим его на двух промежутках отдельно: на и на

Объединив оба результата, получим:

Пресечением решений двух неравенств системы будет множество

Замечания.

1. Покажем решение первого неравенства традиционным методом.

Пусть при таких

Пусть т. е. для таких

2. Переход от неравенства на множестве к неравенству будем считать равносильным, поскольку умножение обеих частей этого неравенства на положительное выражение приводит к равносильному неравенству

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство системы. Ограничения на

Заметим, что при и выражение можно заменить выражением имеющим тот же знак, что и Тогда будем иметь:

С учётом ограничений на получим:

Теперь решим первое неравенство. Ограничения на

Первое неравенство системы рассмотрим на множестве

На указанном множестве перейдем к равносильному неравенству:

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Итак, решения первого неравенства — множество

Пересечение решений обоих неравенств:

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Сделаем замену переменной. Пусть тогда Разделим обе части неравенства на Получим:

Теперь решим неравенство

Итак, решением первого неравенства является множество

Рассмотрим второе неравенство. Найдем ограничения на

При Для таких значений рассматриваемое неравенство будет иметь вид:

Числа являются взаимно обратными. По свойству взаимно обратных чисел возможны два случая:

1)

2)

Таким образом, решениями второго неравенства является множество Пересечение решений обоих неравенств системы:

Ответ:

Решим первое неравенство системы. В левой части неравенства перейдем к логарифмам по основанию 2. Далее будем пользоваться методом рационализации:

Найдем некоторые ограничения на

Для таких

Так как при всех удовлетворяющих неравенству то далее нам достаточно решить неравенство Решения последнего неравенства: что удовлетворяет условию Решения первого неравенства системы — множество

Теперь решим второе неравенство системы на множестве

Поскольку и противоположны, то, очевидно, что для всех Известно, что для любого положительного числа справедливо неравенство Поскольку нам задано неравенство вида то нам следует решить уравнение А такое равенство возможно лишь при выполнении условия

Решим последнее уравнение методом рационализации:

Значение не принадлежит множеству

Итак, решения исходной системы

Замечание.

Решение уравнения можно вести и так: прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

Далее решение ведется, как показано выше.

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство. Найдем ограничения на

Разрешенные значения для первого неравенства: Найдем значения при которых числитель обращается в нуль, т. е. решения уравнения Уравнение решим методом рационализации:

Так как то 4 – единственный корень рассматриваемого уравнения. При числитель левой части первого неравенства положительна. Теперь нам надо найти значения при которых знаменатель будет положительным. Решениями неравенства является множество С учетом ограничений на решения первого неравенства системы:

Рассмотрим второе неравенство пока что только на множестве

Заметим, что при этих значениях значит,

С учетом полученного результата будем иметь:

Из-за ограниченности функции имеем: Значит,

для всех т. е. на этом множестве выражение принимает только положительные значения. Следовательно, дальнейшее исследование второго неравенства сводится к решению более простого неравенства:

На рассматриваемом множестве также выполняется равенство значит,

Используя единый метод рационализации, получим:

Но для всех таких, что следовательно, значит, дальнейшая наша задача — рассмотрение неравенства на множестве

Так как то

На рассматриваемом множестве результат будет выглядеть так:

Для полноты решения докажем, что число 4, которое входит в решение первого неравенства, не удовлетворяет второму неравенству.

При

1) Докажем, что значение этого выражения отрицательно. Действительно,

2)

3)

Произведение трех отрицательных чисел (левая часть второго неравенства) будет отрицательным. А это противоречит смыслу второго неравенства. Значит, число 4 не является решением системы.

Итак, решениями исходной системы является множество

Замечание.

Равенство для что было использовано при решении второго неравенства, легко выводимо. Для доказательства достаточно обе части равенства прологарифмировать по основанию

Ответ:

Найдем ограничения на самой системы:

Покажем, что

Очевидно, что поскольку

Итак, получаем ограничения на :

Рассмотрим первое неравенство системы:

С учетом разрешенных значений получим решения первого неравенства системы:

Теперь решим второе неравенство системы на множестве разрешенных значений методом рационализации:

Заметим, что при всех значениях решения первого неравенства системы — справедливы неравенства Следовательно, на указанном множестве. Тогда на этом же множестве решения неравенства (*) есть множество

Для получения окончательного результата докажем неравенство

Пресечение ранее полученных результатов с решениями второго неравенства будет множество

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы. Пусть Тогда Далее будем иметь:

Разложим числитель и знаменатель левой части последнего неравенства на линейные множители:

Итак, имеем: Поскольку то

Решим последнее неравенство методом интервалов:

Перейдем к переменной

Итак, решением первого неравенства системы является множество:

Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на

Для таких :

Так как , то

Но с учетом ограничений на будем иметь:

Решения второго неравенства есть множество

Решения исходной системы найдем пересекая решения первого и второго неравенств. Но прежде докажем неравенства:

Искомое пересечение:

Ответ:

Разделим обе части первого неравенства системы на Получим:

Решения первого неравенства системы множество

Теперь решим второе неравенство на множестве Ясно, что при этом также должны выполняться условия:

Таким образом, окончательно второе неравенство системы мы будем рассматривать на множестве Для таких :

Решения последнего неравенства получим методом интервалов:

Итак, или Перейдя к переменной , будем иметь: или Решим данные неравенства:

Решения исходной системы с учетом ограничений на :

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы. Очевидно, что Для таких :

Пусть Тогда:

Поскольку то

Возвращаясь к переменной , будем иметь:

Таким образом, решения первого неравенства системы есть множество

Решим второе неравенство системы методом рационализации.

Найдем ограничения на

Для таких

Корни квадратного трехчлена были найдены ранее. Далее будем иметь:

Поскольку , то:

С учетом ограничений на

Итак, решением второго неравенства системы будет множество

Для получения пересечения обоих неравенств сравним и Докажем, что Действительно, (неравенство очевидное).

Пресечением решений обоих неравенств системы является множество

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы:

Неравенство решений не имеет.

Итак, решения первого неравенства системы есть множество

Теперь рассмотрим второе неравенство системы. Найдем ограничения на Для таких

Пусть тогда: Найдем корни квадратного трехчлена или

Неравенство будем решать методом интервалов.

Итак: или Перейдем к переменной

Прежде чем пересечь решений обоих неравенств, сравним числа: , докажем, что

Пересечением решений обоих неравенств системы является множество

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство. Найдем ограничения на

Последняя система решений не имеет, поскольку неравенство не будет выполняться ни при каких значениях удовлетворяющих условию так как при этих значениях переменной левая часть неравенства будет строго положительной. Поскольку первое неравенство решений не имеет, в решении второго неравенства системы смысла нет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим первое неравенство системы:

Решения первого неравенства — множество

Решим второе неравенство системы. Его достаточно рассмотреть только на множестве

Найдем ограничения на на указанном множестве:

Для получения окончательного результата по ограничениям на докажем, что

Итак, ограничения на Для таких

С учетом ограничений на получим решения исходной системы:

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Найдем ограничения на Для таких

Это неравенство решим методом интервалов.

Таким образом, решениями первого неравенства является объединение промежутков:

Решим второе неравенство системы.

Ограничения на

Для таких

Теперь мы решим последнюю систему неравенств на множестве решений первого неравенства:

Ответ:

Замечание.

Несложно понять, что поскольку

Рассмотрим первое неравенство системы:

Произведем замену переменной. Пусть тогда:

Перейдем к переменной

Решения первого неравенства системы — множество

Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на

При имеем: Для таких второе неравенство системы равносильно неравенству Получаем:

Докажем, что

Действительно,

Итак, решением второго неравенства системы является множество Отсюда ясно, что решение исходной системы следует искать только на множестве положительных чисел, т. е. оно будет подмножеством множества Заметим, что Докажем, что

Таким образом, решением заданной системы будет множество

Ответ:

Пусть . Тогда , то есть , при этом .

Таким образом и

Ответ: .