Решим второе неравенство системы:

Рассмотрим первое неравенство системы на множестве [1; 3]. Преобразуем его правую часть:

Получаем:

Квадратный трехчлен при всех поскольку Кроме того, на [1; 3] Следовательно:

Ответ:

Решим второе неравенство системы:

при всех поскольку

Следовательно,

Итак, решениями первого неравенства системы является множество

Решим второе неравенство системы:

Очевидно, корнями уравнения будут числа: −4 и −3. (Корень квадратного трехчлена равный −5 не может служить искомым корнем из-за неотрицательности выражения ).

Теперь решим неравенство

Таким образом, решениями второго неравенства системы является множество Пересечением решений обоих неравенств будет множество

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы:

Заметим, что для любого Следовательно,

Решения первого неравенства есть множество

Решим второе неравенство системы. Заметим, что поскольку

Пусть тогда:

Следовательно, Решения второго неравенства — множество

Пересечением решений обоих неравенств будет множество

Ответ:

Най­дем огра­ни­че­ния на с уче­том обоих не­ра­венств си­сте­мы:

Итак, каж­дое не­ра­вен­ство си­сте­мы будем рас­смат­ри­вать толь­ко на мно­же­стве

Най­дем ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы на

Оче­вид­но, что для лю­бо­го так как Кроме того, на рас­смат­ри­ва­е­мом мно­же­стве также

Сле­до­ва­тель­но, на М

Пе­рей­дем к ис­сле­до­ва­нию вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы на мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства . Ведем новую пе­ре­мен­ную. Пусть Тогда рас­смат­ри­ва­е­мое не­ра­вен­ство можно пред­ста­вить си­сте­мой:

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной

По­след­няя си­сте­ма не­сов­мест­на. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые зна­че­ния пе­ре­мен­ной есть чис­ло­вой про­ме­жу­ток

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы.

Заметим, что для всех поскольку дискриминанты квадратных трехчленов (левые части неравенств) отрицательны. Следовательно, Итак, решениями первого неравенства системы является множество Теперь с учетом ограничений на значения из второго неравенства и решений первого неравенства системы рассмотрим второе неравенство только на множестве Очевидно, что на этом множестве:

Решения исходной системы есть множество

Ответ: :

Рассмотрим второе неравенство системы. Заметим, что числитель дроби (левая часть неравенства), положителен при всех значения так как дискриминант подкоренного выражения отрицателен: А для того чтобы левая часть неравенства была не меньше 1, необходимо и достаточно выполнение двух условий: и Решим систему:

Однако, при знаменатель левой части первого неравенства обращается в нуль. Поэтому дальнейшие наши исследования будем вести на множестве

Решим первое неравенство на указанном множестве. Поскольку на то

Поскольку на то на этом множестве А также на Значит, на этом множестве

Таким образом, решения исходной системы есть множество (2; 3).

Ответ: (2; 3).

Рассмотрим первое неравенство системы:

Числитель последнего неравенства положителен при любом значении переменной, так как Следовательно, Решения последнего неравенства получим методом интервалов.

Интервалы
Знак рационального выражения	−	+	−	+

Решения первого неравенства системы — множество

Решим второе неравенство.

На множестве

На Следовательно,

На множестве имеем, что

На множестве имеем: Итак, решения исходной системы:

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы. Переформулируем условие так: на числовой прямой найти все точки, сумма расстояний от которых до точек (−2) и (1) не превосходит 3. Очевидно, что такими точками будут точки, принадлежащие отрезку Итак, решения первого неравенства есть множество

Решим второе неравенство системы на множестве

Заметим, что для всех поскольку

Заметим также, что при будем иметь: значит,

Следовательно, решениями исходной системы будет множество

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Введем новую переменную. Пусть Тогда:

Поскольку то

Перейдем к переменной

Решения первого неравенства системы:

Решим второе неравенство системы только на множестве

Решения последнего неравенства получим методом интервалов.

Решения второго неравенства системы на множестве

Это же множество есть решения исходной системы.

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство системы.

Сначала найдем значения при которых левая часть неравенства обращается в нуль. Таковыми будут числа: −2; 1; 3. (Заметим при этом, что при

Решим систему:

Решения второго неравенства системы:

Теперь решим первое неравенство системы. Рассмотрим его на части решений второго неравенства: на множестве число 3 не входит в искомые решения:

Так как при всех будут также выполнены условия: то на множестве

Проверим, являются ли числа −2 и 1 решениями первого неравенства системы.

При при Итак, число −2 является элементом множества решений первого неравенства системы, тогда как число 1 таковым не является.

Следовательно, решения исходной системы:

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство отдельно на каждом из промежутков так как в точках и первое и второе подмодульные выражения соответственно обращаются в нуль.

Пусть Тогда неравенство примет вид:

На рассматриваемом промежутке получим часть искомых решений:

Пусть Тогда неравенство примет вид: На рассматриваемом промежутке получим другую часть искомых решений:

Пусть теперь Тогда неравенство примет вид:

На рассматриваемом промежутке получим третью часть искомых решений:

Теперь же объединив все промежуточные результаты, получим решения первого неравенства заданной системы:

Решим второе неравенство заданной системы на промежутке

Поскольку при то на этом множестве Далее имеем:

Решения исходной системы есть множество

Ответ:

Решим первое неравенство системы:

Корнями квадратного трехчлена являются числа: −1 и −3.

Далее будем иметь:

при любом действительном значении так как Итак, решениями первого неравенства является множество Теперь решим второе неравенство системы.

Найдем ограничения на

Следовательно, значение переменной, равное −2, не может быть искомым.

Решим систему:

Решениями второго неравенства системы является множество Пересечением решений обоих неравенств будет множество

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Пусть Тогда:

Перейдем к переменной

Таким образом, решения первого неравенства системы:

Решим теперь второе неравенство системы на множестве решений первого неравенства.

Если то и второе неравенство примет вид:

Но при всех значениях удовлетворяющих условиям или Следовательно, на рассматриваемом множестве а это значит, что на данном множестве у системы будет единственное решение: −1.

Если то и второе неравенство системы примет вид:

Так как последнее неравенство верно для любого из рассматриваемого промежутка, то другая часть решений системы:

Все решения системы:

Замечание.

Решение первого неравенства системы можно вести и так:

Неравенство, включенное в совокупность, решим методом интервалов.

Ответ:

Решим первое неравенство системы:

Итак, решения первого неравенства системы — множество

Теперь решим второе неравенство системы:

Решения второго неравенства системы: Пересечение решений обоих неравенств системы есть множество

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Найдем ограничения на

Для таких

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 2. Получим:

При левая часть последнего неравенства неположительна, тогда как правая ее часть неотрицательна. Следовательно, неравенство выполняется при любом Значит, есть часть решений этого неравенства.

При неравенство примет вид: а это значит, что 5 — решение рассматриваемого неравенства.

При

Заметим, что при любом тогда как

Следовательно, значения удовлетворяющие неравенству решениями рассматриваемого неравенства не являются. Искомые значения принадлежат множеству

Теперь решим второе неравенство системы на множестве решений первого неравенства. Предварительно решим такое неравенство:

Разобьем множество на два подмножества: и и на каждом из них рассмотрим второе неравенство системы. Ясно, что на каждом из них

На значит, Тогда рассматриваемое неравенство имеет вид: Это значит, что на множестве решениями второго неравенства системы будет его подмножество

На т.е. Последнее неравенство от значений переменной не зависит, следовательно, — другая часть решений второго неравенства системы.

Таким образом, решениями системы является множество

Ответ:

Решим первое неравенство системы:

Итак, решения первого неравенства:

Теперь решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на

Для таких

Но с учетом ограничений на получим: или

Пересечение решений обоих неравенств системы:

Замечание.

Решение первого неравенства возможно и так:

Ответ:

Решим второе неравенство системы:

Рассмотрим первое неравенство системы на множестве [1; 3]. Преобразуем его правую часть:

Получаем:

Квадратный трехчлен при всех поскольку Кроме того, на [1; 3] Следовательно:

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство. Левую его часть дополним до полного квадрата путем прибавления к ней 1 и одновременно вычитая из нее 1. Получим:

Итак, решениями первого неравенство является множество

Теперь решим второе неравенство. Ограничения на

Заметим, что Поэтому

Отсюда: для всех Следовательно, второе неравенство на промежутке равносильно неравенству

Решим систему неравенств

Таким образом, решениями второго неравенства является множество

Для пересечения решений обоих неравенств системы сравним числа и

Покажем, что Действительно,

Решениями исходной системы является множество

Замечания.

1. При решении неравенства относительно использована теорема Виета.

2. Метод дополнения до полного квадрата, использованный нами в решении данной задачи, единственно приемлемым считать не следует. В нашем случае можно было и поступить так:

3. В подобных случаях полезно помнить, что для любого

Ответ:

##

Решим уравнение относительно

Далее:

Решения последнего неравенства получим методом интервалов.

Итак, решением первого неравенства является множество

Решим второе неравенство:

Заметим, что

Обозначим Тогда при

Решением второго неравенства является множество

Решением исходной системы будет промежуток

Ответ:

Замечание.

Неравенство на равносильно неравенству поскольку их множества решений совпадают на

Рассмотрим первое неравенство. Оно равносильно системе неравенств:

Второе неравенство полученной системы выполняется при всех значениях поскольку дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля (). Следовательно, решение этой системы совпадет с решением неравенства

Итак, решениями первого неравенства заданной системы является множество

Второе неравенство заданной системы перепишем так:

Это неравенство верно только при условии выполнения условия Значит,

Таким образом, решением второго неравенства заданной системы является множество

Но Докажем это:

Следовательно, пересечение множеств решений двух неравенств заданной системы пусто, т. е. система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Поскольку левая часть первого неравенства представляет из себя арифметический квадратный корень, то правая его часть обязана быть неотрицательной, т. е. должно выполняться условие что равносильно цепочке неравенств Последнее неравенство выполнимо только при

Вычислим значение подкоренного выражения, что в левой части первого неравенства системы, при Получим: Но значение для этого выражения оказалось недопустимым. Следовательно, первое неравенство заданной системы решений не имеет. Тогда и исходная система решений иметь не будет.

Ответ: система решений не имеет.

Решим второе неравенство. Заметим, что левая часть неравенства как сумма двух неотрицательных выражений обязана быть неотрицательной. Отсюда ясно, что заданное неравенство выполнимо при одном условии: каждое слагаемое левой части может принимать лишь значение, равное нулю. Отсюда:

Итак, решением второго неравенства является единственное значение равное −3.

Проверим, выполнение первого неравенства при

Как видим, числитель и знаменатель дроби положительны. Значит, при первое неравенство заданной системы обращается в верное числовое неравенство.

Ответ: −3.

Решим второе неравенство системы:

Покажем, что Действительно,

Итак, решениями второго неравенства является множество

Поскольку решениями второго неравенства являются лишь положительные числа, то решение первого неравенства системы будем искать только на множестве положительных чисел.

На

Решениями первого неравенства на множестве положительных чисел является множество

Для получения решения заданной системы сравним число с числами и

Для этого достаточно доказать, что

Ясно, что , поскольку

Значит,

Таким образом, решением заданной системы является множество

Замечание.

При решении неравенства использована замена выражения на выражение с учетом ограничений на значения

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Подмодульные выражения обращаются в нуль в точках: Разобъем числовую прямую на промежутки: , и определим знаки подмодульных выражений на каждом из этих промежутков.

1. Пусть Тогда все подмодульные выражения будут неположительными. Неравенство примет вид:

На рассматриваемом промежутке найдется единственная точка, удовлетворяющая неравенству:

2. Пусть Тогда

На рассматриваемом промежутке получим:

3. Пусть Тогда

На рассматриваемом промежутке:

4. Пусть Тогда

На рассматриваемом промежутке:

Таким образом, решения первого неравенства системы есть отрезок

Теперь будем искать решения второго неравенства системы:

Итак, решения второго неравенства системы:

Сравним числа: и и

Пересечём решения обоих неравенств:

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство. Найдем ограничения на

Для таких значений будем иметь:

Решения последнего неравенства получим методом интервалов:

Решения первого неравенства системы:

Решим второе неравенство системы. Введем новую переменную Тогда и второе неравенство примет вид:

Получили: Перейдем к переменной

Таким образом, решениями второго неравенства является множество

Однако, пересечение решений обоих неравенств системы окажется пустым, поскольку Докажем это:

Это с одной стороны. С другой же стороны, первое неравенство отрицательных решений не имеет.

Ответ: система решений не имеет.

Рассмотрим первое неравенство системы. Ограничения на

Разложим на множители Ясно, что При и левая часть неравенства будет иметь вид: а само неравенство — Тогда:

Итак, решениями первого неравенства системы является множество

Теперь рассмотрим второе неравенство системы. Обратим внимание на то, что числители левой и правой частей равны. Следовательно, знак равенство между левой и правой частями нестрогого неравенства выполняется только при выполнении условия т. е. при или Но с учетом результата, полученного при решении первого неравенства, рассмотрение значения можно исключить. Таким образом, – это часть решения второго неравенства системы.

Теперь потребуем, чтобы выражение было неположительным. Ясно, что это условие будет выполнено при

Но с учетом решений первого неравенства, второе неравенство можно рассмотреть только на множестве [0; 5]. В таком случае нам остается решить неравенство

Ответ:

Найдем ограничения на системы в целом.

Рассмотрим первое неравенство.

Имеем: Поскольку число −1 не относится к числу решений неравенства, то мы вправе понизить степень числителя и знаменателя, разделив их на Тогда для будем иметь:

Найдем корни левой части последнего неравенства, если они имеются. Для этого решим уравнение Это симметрическое (возвратное) уравнение. Ясно, что поскольку Разделим обе части уравнения на

Введем новую переменную. Пусть тогда

Теперь вернемся к переменной Поскольку то

А уравнение решений не имеет, так как противоречит неравенству

Итак,

Но, при получаем, что Значит, интервал и есть решения неравенства (*) на множестве

Теперь решим второе неравенство системы. Оно выглядит так: Введем новую переменную. Пусть Тогда Неравенство принимает вид: Возведем обе части неравенства в третью степень и получим:

По смыслу последнего неравенства Учитывая неотрицательность переменной будем иметь:

Перейдем к переменной

Итак, решениями второго неравенства системы является множество

Пересечением решений обоих неравенств будет множество

Замечание.

Ясно, что где 1; 4; 6; 4; 1 — соответствующие биномиальные коэффициенты.

Ответ:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Сна­ча­ла най­дем зна­че­ния при ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство левой и пра­вой ча­стей не­стро­го не­ра­вен­ства:

Те­перь зай­мем­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства За­ме­тим, что левая часть не­ра­вен­ства по­ло­жи­тель­на (ра­вен­ство нулю мы уже рас­смот­ре­ли выше). Сле­до­ва­тель­но, пра­вая часть также обя­за­на быть по­ло­жи­тель­ной. Но это усло­вие вы­пол­ни­мо лишь при Най­дем зна­че­ния при ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие Оно ис­тин­но при зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, удо­вле­тво­ря­ю­щих со­во­куп­но­сти не­ра­венств: и По­сколь­ку мы ищем толь­ко те зна­че­ния ко­то­рые боль­ше −2, то в даль­ней­шем мы огра­ни­чим­ся рас­смот­ре­ни­ем лишь тех зна­че­ний пе­ре­мен­ной, ко­то­рые боль­ше 3. При этом, мы впра­ве обе части не­ра­вен­ства раз­де­лить на В ре­зуль­та­те по­лу­чим: Решим это не­ра­вен­ство на

Итак, ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства

Те­перь решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ни­ям пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы - мно­же­ство

Пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств есть мно­же­ство

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Ограничение на

Введем новую переменную. Пусть Тогда

Перейдем к переменной

Преобразуем

Итак, решениями первого неравенства системы является множество

Теперь решим второе неравенство системы.

Укажем некоторые ограничения на такие как Для таких

Используя метод рационализации, получим:

Из полученных промежуточных результатов выделим множество значений удовлетворяющих условиям: и Таким множеством будет объединение интервалов и Однако, для таких значений осталось проверить выполнение условия

Заметим, что функция на является монотонно возрастающей как сумма двух возрастающих функций: и одной неубывающей функции Найдем знак функции в точках и

А это значит, что на множестве Следовательно, множество решениями второго неравенства не является.

Отсюда вывод: на промежутке функция всюду положительна. Таким образом, решениями второго неравенства является множество

Прежде чем найти общее решение обоих неравенств системы, докажем истинность неравенства

Заметим, что Если нам удастся доказать, что то из истинности этого неравенства будет следовать также истинность неравенства

Таким образом, пересечением решений обоих неравенств системы является множество

Ответ:

Обозначим . Получим

.

Вернемся к исходной переменной: .

Ответ: .