Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 2 и 3 с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся в точке A. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке B, а боль­шую  — в точке C. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCO₂, если ∠ABO₁  =  30°.

Рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов 2 и 8 равно 15. Этих окруж­но­стей и их общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной ка­са­ет­ся тре­тья окруж­ность. Най­ди­те её ра­ди­ус.

На сто­ро­не пря­мо­го угла с вер­ши­ной A взята точка O, причём AO = 7. С цен­тром в точке O про­ве­де­на окруж­ность S ра­ди­у­са 1. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в дан­ный угол и ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти S.

Рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов 1 и 9 равно 17. Обе окруж­но­сти лежат по одну сто­ро­ну от общей ка­са­тель­ной. Тре­тья окруж­ность ка­са­ет­ся обеих окруж­но­стей и их общей ка­са­тель­ной. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти.

Центр O окруж­но­сти ра­ди­у­са 4 при­над­ле­жит бис­сек­три­се угла ве­ли­чи­ной 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в дан­ный угол и ка­са­ю­щей­ся дан­ной окруж­но­сти, если из­вест­но, что рас­сто­я­ние от точки O до вер­ши­ны угла равно 10.

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Через точку A про­ве­де­ны диа­мет­ры AC и AD этих окруж­но­стей. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, если BC  =  7, BD  =  3.

Най­ди­те длину от­рез­ка общей ка­са­тель­ной к двум окруж­но­стям, за­клю­чен­но­го между точ­ка­ми ка­са­ния, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 31 и 17, а рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 50.

Рас­сто­я­ния от общей хорды двух пе­ре­се­ка­ю­щих­ся окруж­но­стей до их цен­тров от­но­сят­ся как 2 : 5. Общая хорда имеет длину а ра­ди­ус одной из окруж­но­стей в два раза боль­ше ра­ди­у­са дру­гой окруж­но­сти. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей.

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 11 и 21 с цен­тра­ми и со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке и   — па­рал­лель­ные ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, причём Най­ди­те

Ра­ди­у­сы окруж­но­стей с цен­тра­ми O₁ и O₂ равны со­от­вет­ствен­но 1 и 3. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся двух дан­ных и пря­мой O₁O₂, если O₁O₂  =  14.

Ра­ди­у­сы окруж­но­стей с цен­тра­ми O₁ и O₂ равны со­от­вет­ствен­но 2 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся двух дан­ных и пря­мой O₁O₂, если O₁O₂  =  28.

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 11 и 21 с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке C, AO₁ и BO₂  — па­рал­лель­ные ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, причём ∠AO₁O₂  =  60°. Най­ди­те AB.

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов и с цен­тра­ми и со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке и   — па­рал­лель­ные ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, причём Най­ди­те

В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды PQ и CD, причём PQ  =  PD  =  CD  =  8, CQ  =  6. Най­ди­те CP.

В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды PQ и CD, причём PQ  =  PD  =  CD  =  10, CQ  =  6. Най­ди­те CP.

Две окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны 9 и 4, ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся двух дан­ных окруж­но­стей и их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­стей ра­ди­у­сов R и r в точ­ках A и B. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми равно a при­чем r < R и r + R < a. Най­ди­те AB.

Окруж­ность S про­хо­дит через вер­ши­ну C пря­мо­го угла и пре­се­ка­ет его сто­ро­ны в точ­ках, уда­лен­ных от вер­ши­ны C на рас­сто­я­ния 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в дан­ный угол и ка­са­ю­щий­ся окруж­но­сти S.

Най­ди­те длину от­рез­ка общей ка­са­тель­ной к двум окруж­но­стям, за­клю­чен­но­го между точ­ка­ми ка­са­ния, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 23 и 7, а рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 34.

Окруж­ность ра­ди­у­са впи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 8. Най­ди­те MN.

Дана окруж­ность ра­ди­у­са 4 с цен­тром в точке О, рас­по­ло­жен­ной на бис­сек­три­се угла, рав­но­го 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в дан­ный угол и ка­са­ю­щей­ся дан­ной окруж­но­сти внеш­ним об­ра­зом, если из­вест­но, что рас­сто­я­ние от точки О до вер­ши­ны угла равно 10.

Точки А и В лежат на окруж­но­сти с цен­тром О и ра­ди­у­сом 6, а точка С рав­но­уда­ле­на от точек А, В и О. Дру­гая окруж­ность с цен­тром Q и ра­ди­у­сом 8 опи­са­на около тре­уголь­ни­ка АСО.

а)  До­ка­жи­те, что точка пе­ре­се­че­ния пря­мых АВ и СQ лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ОСВ.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка QB.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке A, через ко­то­рую про­ве­де­на их общая ка­са­тель­ная, на ко­то­рой от­ме­че­на точка B. Через точку B про­ве­де­ны две пря­мые: одна пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точ­ках K и L (точка K на­хо­дит­ся между B и L), а дру­гая  — вто­рую окруж­ность в точ­ках M и N (точка M на­хо­дит­ся между B и N). Пря­мые KN и LM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что точки K, L, M, N лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков KLP и MNP, если BL  =  9, BM  =  5, AB  =  6.