До­ка­жем сна­ча­ла сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние. Если a  — рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R, a ≥ r + R, общая внеш­няя ка­са­тель­ная ка­са­ет­ся окруж­но­стей в точ­ках A и B, то

Дей­стви­тель­но, пусть O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Из точек O₁ и O₂ опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры O₁Q на пря­мую O₂B. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₁QO₂ на­хо­дим, что

Пусть x  — ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, C  — её точка ка­са­ния с пря­мой AB. по до­ка­зан­но­му:

Воз­мож­ны че­ты­ре слу­чая.

1.  Если точка C лежит между A и B (см. рис.), то AC + CB  =  AB, или Тогда от­ку­да

2.  Если точка C лежит на про­дол­же­нии от­рез­ка AB (см. рис.), то CB − AC  =  AB, или Тогда от­ку­да

3 и 4. Если точка C сов­па­да­ет с одной из точек A или B, а ка­са­ние с со­от­вет­ству­ю­щей окруж­но­стью про­ис­хо­дит внут­рен­ним об­ра­зом. Тогда в слу­чае внеш­не­го ка­са­ния с мень­шей окруж­но­стью

В слу­чае ка­са­ния боль­шей окруж­но­стью, от­ку­да

Ответ: