Тип Д14 C4 № 507380 
Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей
i
На стороне прямого угла с вершиной A взята точка O, причём AO = 7. С центром в точке O проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.
Решение. 
Пусть Q — центр искомой окружности радиуса R, B — точка касания этой окружности со стороной AO, C — точка касания окружностей. Центр окружности, вписанной в угол лежит на биссектрисе угла, значит, ∠BAQ = 45°. Тогда AB = QB = R. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OQ = OC + CQ = 1 + R.
Рассмотрим случай, когда точка B лежит между A и O. (см. рис.). Тогда R < 7. По теореме Пифагора OQ2 = QB2 + OB2, или (1 + R)2 = R2 + (7 − R)2. После очевидных упрощений получим уравнение R2 − 16R + 48 = 0, учитывая, что R < 7, находим, что R = 4.
Если же точка O лежит между A и B (см. рис.), то аналогично получим, что R = 12.
Ответ: 4 или 12.
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 4 или 12.
