Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.
Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.
Первый случай. Пусть окружность с центром O1 имеет радиус r = 4, окружность центром O2 имеет радиус R = 9, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.
Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.
Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A || O2B, точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D = EF.
Кроме того,
Далее имеем:
Второй случай. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R = 9, окружность с центром O имеет радиус r = 4, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.
Аналогично случаю 1 имеем:
Ответ: 1,44 или 36.
В задаче рассматриваются только два случая решения, если окружность, радиус которой нужно найти - самая маленькая или самая большая. Но средняя окружность также удовлетворяет условиям задачи, так что задача имеет три, а не два решения.
Увы, это не так. Такого случая нет. Попытка рассмотреть этот случай приводит к тому же уравнению
что и во втором случае. И это правильно, так как принципиальным является не перебор окружностей на картинке, а порядок точек касания окружностей на их общей касательной.