Первый случай.

Центры O₁ и O окружностей, вписанных в треугольники BMC и AMD соответственно, лежат на биссектрисе MO угла AMD. Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, является также окружностью, вписанной в треугольник AMD и вневписанной окружностью треугольника BMC. Будем искать площадь четырехугольника ABCD, как разность площадей треугольников AMD и BMC.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, следовательно, ∠BAD + ∠BCD = 180°, но ∠BCM + ∠BCD = 180°, откуда ∠BCM = ∠BAD. Так как треугольники BCM и AMD имеют еще общий угол AMD, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Далее имеем:

1)

2) где p — полупериметр треугольника BCM, равный по свойству вневписанной окружности длине отрезка KM.

3) Из прямоугольного треугольника OKM, находим откуда

Подставляя найденное значение S_ΔBCM в формулу S_ABCD, окончательно получаем

Второй случай.

Отличается от первого положением точки M левее точек D и A. В этом случае R < r и в рассуждении они и треугольники BCM и ADM должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае

Ответ: или

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 3 и 2 соответственно. Для треугольника со стороной 3 радиус равен

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников и

Для треугольника со стороной 2 радиус равен

Чтобы найти площадь четырехугольника вычтем из площади параллелограмма площади треугольников и

Ответ: или

Пусть ABCD — трапеция с боковыми сторонами AB и CD, а окружность S с центром O, вписанная в трапецию, касается оснований BC = 36 и AD = 64 в точках K и M соответственно.

Точки K и M — середины оснований, поэтому CK = 18 и DM = 32. Из прямоугольных треугольников ODM и OCK находим, что

Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром O₁ вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке P. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:

а так как точки D, O₁ и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то

Треугольники O₁PD и OMD подобны, поэтому или откуда находим, что r = 6.

Если же окружность радиуса r₁ с центром O₂ вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение из которого найдём, что

Ответ: 6 или

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 3 — соответственно. Поэтому радиусы окружностей равны третьей части высоты правильного треугольника.

Для треугольника со стороной 5 радиус равен

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD:

Для треугольника со стороной 3 радиус равен

Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и DOC:

Ответ: или

Пусть AD = d, BD = x, DC = y. Возможны два случая.

Первый случай. Точка D лежит на отрезке BC (верхний рисунок):

Значит,

Второй случай. Точка D лежит вне отрезка BC (нижний рисунок):

Значит,

Ответ: 6 или 8.