Тип Д14 C4 № 507662 
Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и четырёхугольники
i
Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 7, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.
Решение. 
На первый взгляд, окружностей, удовлетворяющих условию, две: каждая из них вписана в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 7 и 3 соответственно. Для треугольника со стороной 7 радиус равен 
Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD:
Для треугольника со стороной 3 радиус равен 
Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и DOC:
Однако первый случай невозможен (на это обратил наше внимание Олег Цимбалист). Действительно, для равностороннего треугольника со стороной AD, равной 7, расстояние от точки А до точки касания со вписанной окружностью будет равно разности полупериметра и противоположной стороны, то есть 3,5. Таким образом, данное расстояние на 0,5 превосходит длину стороны AB параллелограмма ABCD. По условию задачи, окружность с центром в точке О должна касаться биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла.
Но в первом случае точка касания окружности с прямой AB не принадлежит стороне AB параллелограмма ABCD. Иными словами, данная окружность касается только одной из сторон исходного параллелограмма, исходящих из вершины его острого угла A, а не двух сторон, как того требует условие.
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 
или 
