Пусть ABCD  — тра­пе­ция с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AB и CD, а окруж­ность S с цен­тром O, впи­сан­ная в тра­пе­цию, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний BC  =  36 и AD  =  64 в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

Точки K и M  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний, по­это­му CK  =  18 и DM  =  32. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ODM и OCK на­хо­дим, что

Рас­смот­рим слу­чай, когда окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром O₁ впи­са­на в угол ADC, ка­са­ет­ся окруж­но­сти S в точке T, а сто­ро­ны AD  — в точке P. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му:

а так как точки D, O₁ и O лежат на одной пря­мой (бис­сек­три­се угла CDA), то

Тре­уголь­ни­ки O₁PD и OMD по­доб­ны, по­это­му или от­ку­да на­хо­дим, что r  =  6.

Если же окруж­ность ра­ди­у­са r₁ с цен­тром O₂ впи­са­на в угол BCD и ка­са­ет­ся окруж­но­сти S, то ана­ло­гич­но по­лу­чим урав­не­ние из ко­то­ро­го найдём, что

Ответ: 6 или

Пусть ABCD  — тра­пе­ция с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AB и CD, а окруж­ность S с цен­тром O, впи­сан­ная в тра­пе­цию, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний и в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

Точки K и M  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний, по­это­му и Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ODM и OCK на­хо­дим, что

Рас­смот­рим слу­чай, когда окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром впи­са­на в угол ADC, ка­са­ет­ся окруж­но­сти S в точке T, а сто­ро­ны AD  — в точке Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му:

а так как точки и O лежат на одной пря­мой (бис­сек­три­се угла CDA), то

Тре­уголь­ни­ки O₁PD и OMD по­доб­ны, по­это­му или от­ку­да на­хо­дим, что

Если же окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол BCD и ка­са­ет­ся окруж­но­сти S, то ана­ло­гич­но по­лу­чим урав­не­ние из ко­то­ро­го найдём, что

Ответ: 3 или