Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 511433

Окружность S радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 18 и 32. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Решение.

Пусть ABCD — трапеция с боковыми сторонами AB и CD, а окружность S с центром O, вписанная в трапецию, касается оснований BC=18 и AD=32 в точках K и M соответственно.

Точки K и M — середины оснований, поэтому CK=9 и DM=16. Из прямоугольных треугольников ODM и OCK находим, что

OD= корень из { OM в степени 2 плюс DM в степени 2 }= корень из { 12 в степени 2 плюс 16 в степени 2 }=20.

 

OC= корень из { OK в степени 2 плюс CK в степени 2 }= корень из { 12 в степени 2 плюс 9 в степени 2 }=15.

Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром O_1 вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке P. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:

OO_1=OT плюс TO_1=12 плюс r,

а так как точки D,O_1 и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то

DO_1=OD минус OO_1=20 минус (12 плюс r)=8 минус r.

Треугольники O1PD и OMD подобны, поэтому  дробь, числитель — O_1P, знаменатель — OM = дробь, числитель — O_1D, знаменатель — OD , или  дробь, числитель — r, знаменатель — 12 = дробь, числитель — 8 минус r, знаменатель — 20 , откуда находим, что r=3.

Если же окружность радиуса r_1 с центром O_2 вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение  дробь, числитель — r_1, знаменатель — 12 = дробь, числитель — 3 минус r_1, знаменатель — 15 , из которого найдём, что r_1= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 .

 

Ответ: 3 или  дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 .


Аналоги к заданию № 507492: 511433 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники