Использование симметрий, оценок, монотонности
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
получим:
до 
При t < 0 функция g(t) − возрастает, принимая все значения от 
до 
Значит, 
причём на промежутке (0; +∞) — функция возрастает, принимая все значения от 
до 
, а на промежутке (−∞; 0) — убывает (функция чётная), принимая все значения от 
и наименьшее значение функции 
достигается при одном и том же значении 
, уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда 
то есть
решений нет. 
, 
Тогда уравнение примет вид 
, что невозможно поскольку 
, 
Тогда уравнение примет вид 
Заметим, что левая часть — возрастающая функция 
необходимо и достаточно, чтобы 
, 
Второе — 
, что верно при всех неотрицательных 
, 
, что невозможно поскольку 
, 
Тогда уравнение примет вид 
Заметим, что левая часть — убывающая функция 
, необходимо и достаточно, чтобы 
или 
в зависимости от того, какое из чисел 0 или 
меньше.
и эти числа равны, получаем функцию 
, положительную на левой полуоси.
, то можно рассматривать любые 
и поэтому нужно чтобы
, то есть 
Однако такие a уже рассматривались и для них корень есть.
, то можно рассматривать только 
и поэтому нужно чтобы 
что очевидно невозможно при отрицательных a.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет более одного корня.
Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению 
Оно имеет более одного корня в тех случаях, когда дискриминант уравнения 
положителен. То есть когда
Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению 
Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения 
отрицателен. То есть когда 
Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению 
Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения 
отрицателен. То есть когда 
Найдите все значения a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y, удовлетворяющих неравенству 
и 
угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при 
угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при 
и возрастает при 
поэтому 
получаем: 
то 
поэтому неравенство 
не имеет решений.
то пара чисел 
удовлетворяет неравенству 
Получаем:
Найдите все значения 
при каждом из которых неравенство 
выполняется для всех 
Эта функция возрастает на промежутке 
и убывает на промежутке 
значит, график функции 
на отрезке 
должен находиться в пределах горизонтальной полосы: 
на отрезке длины 
будет не меньше 
поэтому ее график не поместится в полосе ширины 
следовательно, 
откуда 
достигается либо при 
, либо при 
Получаем систему:
тогда 
и уравнение принимает вид
для 
Производная 
положительна при всех 
поэтому функция 
равносильно уравнению 
Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение
не имеет действительных решений.
Тогда 
и уравнение принимает вид
Рассмотрим функцию 
Эта функция определена при всех 
и её производная 
Следовательно, функция 
равносильно уравнению 
откуда Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение.
где 
так как 
Найдем множество значений функции 
на отрезке [0; 2]. Так как 
на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок [f (2); f (0)], т.е. отрезок 
Таким образом, уравнение 
имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия 
и рассмотрим функцию 
Так как ее производная 
и 
Таким образом, приходим к системе 
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
не имеет решений.
и положим 
где 
Тогда исходное уравнение принимает вид 
на отрезке [0; 2].
то 
на промежутке [0; 1) и 
промежутке (1; 2]. Значит, функция убывает на отрезке [0; 1] и возрастает на отрезке [1; 2]. Поскольку 
то множество значений функции на отрезке [0; 2] ― отрезок [f (1); f (2)], т. е. отрезок 
Таким образом, уравнение 
не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия 
или 
Так как ее производная 
Так как 
не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия 
или 
Таким образом, приходим к совокупности
При каких 
данная система имеет решения: 
и 
и, значит, 
левая часть второго уравнения системы не меньше, чем 
Так как его правая часть не больше 
оно равносильно системе
Так как 
— тоже целое число и из равенства 
получаем, что 
— нечетный делитель числа 2. Таким образом, он равен 1 или –1.
находим 
при 
находим 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы один корень.
и 
Поскольку 
получаем: 
является кусочно-линейной, причём при 
угловой коэффициент равен либо –3, либо –9. Значит, функция 
возрастает при 
поэтому 
откуда 
откуда 
и при 
и не имеет корней при других значениях 
минимум для функции 
и максимум для 
Найдите все значения a, при которых любое решение уравнения
принадлежит отрезку 
Она определена при 
возрастает на области определения и принимает все значения от 
Значит, уравнение 
имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку 
тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем систему неравенств:
Найдите все значения при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
тогда исходное уравнение записывается в виде 
Функция f возрастает, так как является суммой двух возрастающих функций. Монотонная функция принимает все свои значения единожды, поэтому получаем:
принимает значения от 
до 
монотонно возрастает на отрезке 
и принимает на нём значения от 
до 
Значит, уравнение 
а с ним и исходное уравнение имеют решение при 
Найдите все значения при которых неравенство 
выполняется для всех действительных значений 
Ввиду того, что 
множеством значений выражения 
при 
является промежуток 
Значит, неравенство 
тогда и только тогда, когда на промежутке 
выполняется неравенство 
то неравенство 
не имеет решений на промежутке 
так как на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
, то неравенство 
должна быть положительна на промежутке 
(см.рисунок). Решая неравенство 
с учетом условия 
окончательно получаем 
имеет координаты 
функция 
то есть промежуток 
Таким образом, неравенство 
верно для всех 
откуда с учетом условия 
больше или равно нулю (именно нестрого)?
строго больше нуля.
Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [−1; 2].
Рассмотрим уравнение 
Число x = 0 не является корнем этого уравнения ни при каком значении параметра а. Поэтому это уравнение равносильно уравнению
определим число корней и их расположение для каждого значения параметра а.
функция убывает, а на промежутке 
— возрастает. Следовательно, точка x = 1 — точка минимума, а минимум равен 7.
то при 
уравнение имеет ровно один корень на отрезке 
при 
уравнение не имеет корней на 
то при 
на отрезке 
уравнение имеет ровно два корня. При a > 10 уравнение также имеет единственный корень на отрезке 
Найдите все значения параметра a, при которых для любого действительного x выполнено неравенство
тогда неравенство запишется в виде
нам требуется найти все значения a, при которых неравенство выполнено при 
и 
Функция 
возрастающая. Таким образом, если неравенство 
выполнено при 
то оно выполнено при 
неравенство принимает вид
равно нулю при 
и больше нуля при других значениях a. Выражение 
при 
равно 0, при 
принимает вид 
при 
равно −2. Таким образом, неравенство 
выполнено при 
, значит, функция 
является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз. 
,
Её производная 
, значит, функция 
или 
то есть при 
тогда уравнение примет вид: 
Пусть 
При t > 0 функция 
При t < 0 функция 
до 
Причем 
и убывает на промежутке 
, принимая значения от 
то есть 
При 
получаем 
При 
тогда уравнение примет вид:
левая часть уравнения принимает наименьшее значение 
правая часть уравнения убывает и принимает значения от 12|a| до 
а при 
— возрастает, принимая значения от 
Найдите все целые отрицательные значения параметра а, при каждом из которых существует такое действительное число 
, что неравенство 
не выполнено.
, при каждом из которых неравенство 
Заметим далее, что данное неравенство равносильно неравенству
строго монотонно возрастает на множестве действительных чисел и, следовательно, первоначальное неравенство выполняется для всех 
тогда и только тогда, когда 
то есть 
полученное неравенство верно. Если 
то неравенство равносильно неравенству
при котором условие вспомогательной задачи не выполнено. Следовательно, при значении 
существует такое 
что неравенство 
не выполнено.
Найдите все значения x, каждое из которых является решением уравнения 
при любом значении a из отрезка 
— решение данного уравнения. Тогда равенство 
при всех a из отрезка 
выполняется. Следовательно, все значения 
— решение данного уравнения. Тогда равенство 
из отрезка 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет единственное решение на отрезке 
определённой на отрезке 
Найдём множество значений функции на данном отрезке. 
Решим уравнение 
обратимся к рисунку: тангенс отмеченного острого угла прямоугольного треугольника равен 2, синус и косинус этого угла находим как отношение катетов к гипотенузе.
возрастает, принимая значения из отрезка 
а на отрезке 
убывает, принимая значения из отрезка 
Поэтому уравнение имеет единственное решение при 
и 
где 
и так как функция 
достигает своего максимального значения 1 в нуле, то функция 
в точке 
Остается найти значения функции 
Тогда 
а уравнение 
точки 
и 
соответствующие повороту точки с координатами (1; 0) на угол 
и 
соответственно (см. рис.). Исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке 
тогда и только тогда, когда прямая l, задаваемая уравнением 
имеет с меньшей дугой АВ окружности ω единственную общую точку.
проходит через точку В при 
и касается окружности ω при 
Тогда искомыми являются все значения параметра из полуинтервала 
и 
определим следующим образом: касанию прямой и окружности соответствует единственное решение системы уравнений 
и 
то есть единственное решение уравнения 
Приведем его к виду 
и найдем дискриминант 
который обращается в нуль при 
Касанию прямой и окружности в I четверти соответствует положительное значение параметра, тем самым, 
на отрезке 
принимает каждое свое значение ровно один раз, а 
только в точке 
то полученная система имеет на этом отрезке единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет ровно одно решение на промежутке 
т.е. при 
или при 
(см. рисунок).
Пройти тестирование по этим заданиям
а как вы пришли к тому,что a^2+6a>-9? методом перебора чисел ?
Во втором пункте решения сказано: "что верно при всех неотрицательных а". Если поставить -1, неравенство все еще верно. Из ОДЗ -1 не исключен.
Во втором пункте по условию
и 
,
то есть
, поэтому имеет смысл рассматривать только положительные значения a.