Про­из­ведём за­ме­ну пе­ре­мен­ной по­лу­чим:

Пусть те­перь

При t  ≥  0 функ­ция g(t) убы­ва­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от до При t  <  0 функ­ция g(t) воз­рас­та­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от до Зна­чит,

Функ­ция f(t) при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при причём на про­ме­жут­ке (0; +∞) функ­ция воз­рас­та­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от до а на про­ме­жут­ке (−∞; 0)  — убы­ва­ет (функ­ция чётная), при­ни­мая все зна­че­ния от до

По­сколь­ку наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при одном и том же зна­че­нии урав­не­ние будет иметь ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда то есть

1.  При a ≥ 0 по­лу­ча­ем

2.  При a < 0 по­лу­ча­ем

Ответ:

Раз­бе­рем слу­чаи рас­кры­тия мо­ду­лей.

1.   Тогда урав­не­ние при­мет вид что не­воз­мож­но, по­сколь­ку

2.   Тогда урав­не­ние при­мет вид За­ме­тим, что левая часть  — воз­рас­та­ю­щая функ­ция не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы

Пер­вое усло­вие дает Вто­рое  —  что верно при всех не­от­ри­ца­тель­ных

3.   Тогда урав­не­ние при­мет вид что не­воз­мож­но, по­сколь­ку

4.   Тогда урав­не­ние при­мет вид За­ме­тим, что левая часть  — убы­ва­ю­щая функ­ция при­чем не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы или в за­ви­си­мо­сти от того, какое из чисел 0 или мень­ше.

Если и эти числа равны, по­лу­ча­ем функ­цию по­ло­жи­тель­ную на левой по­лу­оси.

Если то можно рас­смат­ри­вать любые и по­это­му нужно, чтобы то есть Од­на­ко такие a уже рас­смат­ри­ва­лись, и для них ко­рень есть.

Если то можно рас­смат­ри­вать толь­ко и по­это­му нужно, чтобы то есть что оче­вид­но не­воз­мож­но при от­ри­ца­тель­ных a.

Ответ:

Пусть тогда урав­не­ние при­мет вид Пусть При t > 0 функ­ция убы­ва­ет от до При t < 0 функ­ция воз­рас­та­ет от до По­это­му мак­си­маль­ное зна­че­ние функ­ции

Функ­ция при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при При­чем воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке при­ни­мая зна­че­ния от до

Чтобы было ре­ше­ние не­об­хо­ди­мо, чтобы то есть При по­лу­ча­ем При ре­ше­ний нет.

Ответ:

Пусть тогда урав­не­ние при­мет вид

При левая часть урав­не­ния при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние

При пра­вая часть урав­не­ния убы­ва­ет и при­ни­ма­ет зна­че­ния от 12|a| до а при   — воз­рас­та­ет, при­ни­мая зна­че­ния от до 12|a| (не вклю­чая), то есть наи­боль­шее зна­че­ние пра­вой части урав­не­ния до­сти­га­ет­ся при и равно 12|a|.

Чтобы урав­не­ние имело ре­ше­ние, наи­боль­шее зна­че­ние пра­вой части долж­но быть не мень­ше наи­мень­ше­го зна­че­ния левой части:

Ответ: