Большая высота проведена к меньшей стороне. Имеем:

Ответ: 18.

Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна a + 3. Поэтому S = a · (a + 3) = 18, получаем a² + 3a − 18 = 0. Решая квадратное уравнение, получаем, что a = 3. Тогда большая сторона будет равна 6.

Ответ: 6.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь прямоугольника будет соответственно равна S = 2a² = 18, тогда одна из сторон равна 3, а другая 6. Поэтому P = 2 · 3 + 2 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Площадь и периметр прямоугольника будут соответственно равны S = a · b = 98, P = 2 · a + 2 · b = 42. Тогда имеем:

Поэтому большая сторона равна 14.

Ответ: 14.

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Периметр прямоугольника будет соответственно равен P = 2 · a + 2 · b = 28. Диагональ образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора a² + b² = 100. Тогда имеем:

Тем самым, S = a · b = 48.

Ответ: 48.

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их произведению. Обозначим длины сторон и Тогда периметр и площадь прямоугольника соответственно равны и Решим систему:

Тем самым, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12.

Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна , тогда по теореме Пифагора

Ответ: 13.

Примечание 1.

Можно заметить, что система уравнений является системой Виета. Поэтому её решения — корни квадратного уравнения откуда и

Примечание 2.

Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно,

откуда

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна , а вторая равна , а острый угол параллелограмма равен Тогда площадь параллелограмма равна , а площадь прямоугольника равна

По условию площадь прямоугольника вдвое больше: Следовательно,

Ответ: 30.

Пусть x — искомая высота. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Вычислим площадь параллелограмма двумя способами:

Из полученного уравнения находим x = 6.

Ответ: 6.

Примечание.

Раньше к этому заданию составители давали рисунок, приведённый справа. Внимательный читатель заметит, что он неверный. Действительно, если в прямоугольном треугольнике DGC вычислить длину катета CG, то окажется, что

Связано это с тем, что на самом деле основание высоты параллелограмма падает на продолжение стороны CB за точку B (см. рис.). Для решения задачи рисунок не нужен.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. Поэтому a = 8, b = 4. Большая высота равна 8.

Ответ: 8.

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус его угла. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Поэтому если сторона ромба равна , то

Из полученного уравнения , поэтому

Ответ: 8.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому

Ответ: 24.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, следовательно,

,

Ответ: 3.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Пусть меньшая из диагоналей равна a, тогда большая равна 3a. Следовательно,

Ответ: 2.

сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна

Ответ: 120.

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, значит,

Зная, что периметр параллелограмма равен 46, находим AD = 10.

Ответ: 10.

Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника. Так как она вдвое больше одной из сторон прямоугольника, являющейся катетом того же треугольника, то угол, лежащий против этой стороны, равен Больший угол равен

Ответ: 60.

По определению синуса

Ответ: 1,5.

Cумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна Тогда искомый угол равен

Ответ: 90.

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, значит,

Зная, что периметр параллелограмма равен 70, находим: AB = 20.

Ответ: 20.

Заметим, что как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей. Значит, треугольник – равнобедренный. Пусть , тогда , Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, тогда

,

Ответ: 28.

и как углы при параллельных прямых, значит, треугольники и – равнобедренные.

Ответ: 10.

Тупой угол ромба равен 180° − 60° = 120°. Воспользуемся теоремой косинусов:

Ответ: 3.

Заметим, что сторона ромба равна 50. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть OB = 3x, тогда AO = 4x. По теореме Пифагора AO² + OB² = AB², поэтому 25x² = 2500, откуда x = 10. Тогда для высоты треугольника AOB имеем

Следовательно, высота ромба равна 2h = 48.

Ответ: 48.

Сумма углов B и C равна 180°, поэтому угол С равен 58°. Диагональ ромба AC является биссектрисой угла С, поэтому искомый угол ACD равен 29°.

Ответ: 29.

Диагональ ромба AC является биссектрисой угла С, поэтому он равен 86°. Сумма углов B и C равна 180°, поэтому искомый угол B равен 94°.

Ответ: 94.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Выразим площадь трапеции через площадь параллелограмма:

Ответ:141,75.

Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника (см. параллелограмм Вариньона).

Поэтому его площадь равна 76,5.

Ответ:76,5.

Пусть AH — перпендикуляр, опущенный из точки A на продолжение стороны CD. Выразим площадь треугольника ADE через площадь параллелограмма ABCD:

Ответ: 44.