PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Бегун пробежал 400 метров за 45 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна. Ответ выразите в километрах в час.
Решение. Средняя скорость бегуна 
м/с. Переведем метры в секунду в километры в час:
1 м/с = 60 м/мин = 3600 м/ч = 3,6 км/ч.
Поэтому
Ответ: 32.
На графике показано изменение температуры в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, до скольких градусов Цельсия двигатель нагрелся за первые 8 минут с момента запуска.
Решение. Из графика видно, что двигатель за 8 минут нагрелся до температуры 90 °C.
Ответ: 90.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
1 см изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Решение. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
Ответ: 6.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,25 + 0,35 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Найдите корень уравнения 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: −12.
У треугольника со сторонами 12 и 15 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 10. Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.
Решение. Выразим площадь двумя способами:
Тогда, 
Ответ: 8.
На рисунке изображён график 
— производной функции 
и шесть точек на оси абсцисс: x1, x2, ..., x6. В скольких из этих точек функция возрастает?
Решение. Возрастанию дифференцируемой функции f(x) соответствуют неотрицательные значения её производной. Производная неотрицательна в точках x3, x4 x5, x6. Таких точек 4.
Ответ: 4.
Шар вписан в цилиндр объемом 42. Найдите объем шара.
Решение. В силу формул
объём шара, вписанного в цилиндр, равен двум третим объема этого цилиндра. Поэтому он равен 28.
Ответ: 28.
Найдите значение выражения 
Решение. Выполним преобразования:
Ответ: 12.
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч 2 . Скорость вычисляется по формуле 
, где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,1 километра, приобрести скорость 110 км/ч. Ответ выразите в км/ч2 .
Решение. Найдём, при каком ускорении гонщик достигнет требуемой скорости, проехав 1,1 км. Задача сводится к решению уравнения 
при известном значении длины пути 
км:
км/ч2.
Если его ускорение будет превосходить найденное, то, проехав один километр, гонщик наберёт большую скорость, поэтому наименьшее необходимое ускорение равно 5500 км/ч2.
Ответ: 5500.
Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, а две трубы вместе — за 5 часов 50 минут. За сколько часов заполняет бассейн одна вторая труба?
Решение. Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, две трубы вместе — за за 5 часов 50 минут то есть за 35/6 часа. Это значит, что за час первая труба заполняет 1/7 бассейна, а две трубы — 6/35 бассейна. При совместной работе производительности складываются, поэтому производительность второй трубы равна разности общей производительности и производительности первой трубы: 
бассейна в час. Тем самым, вторая труба заполняет бассейн за 35 часов.
Ответ: 35.
То же самое решение составлением уравнения.
Поскольку первая труба заполняет бассейн за 7 часов, она заполняет одну седьмую бассейна в час. Пусть x — время, за которое вторая труба заполняет бассейн, в час она заполнит 1/х часть бассейна. Известно, что две трубы, работая одновременно, заполнили бассейн за 35/6 часа. Значит, в час они заполняли 6/35 бассейна. Тогда получаем:
Найдите точку максимума функции 
на промежутке 
Решение. Найдем производную заданной функции:
На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в нуль и принимает только положительные значения. Поэтому единственный нуль производной — число 0,5.
Определим знаки производной: она положительна при x < 0,5 и отрицательна при x > 0,5. Поэтому искомая точка максимума — число 0,5.
Ответ: 0,5.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Разложим левую часть на множители:
б) Поскольку 
отрезку 
принадлежит только корень 
Ответ: а) 
б)
Примечание.
Можно было ввести замену 
получить уравнение и решить его разложением на множители:
Возвращаясь к исходной переменной, получаем решение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро 
На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Решение. а) Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:
Поэтому MNKL — квадрат.
б) Площадь сечения является суммой площади квадрата со стороной 
и двух площадей равных равнобедренных треугольников с основанием и боковыми сторонами 
Площадь квадрата равна 8, площади треугольников находим как половину произведения высоты на основание 
Поэтому искомая площадь сечения равна 10.
Ответ: а) доказано; б) 10.
Приведём другое вычисление пункта б).
Заметим, что косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения равен 
Площадь сечения связана с площадью проекции сечения на плоскость основания формулой 
Площадь проекции равна разности площади лежащего в основании квадрата и двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами 2. Таким образом, площадь проекции равна 9 − 4 = 5, а площадь сечения равна 10.
Приведём другое решение.
а) Плоскость MNK пересекает плоскости оснований ABCD и A1B1C1D1 по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны. Отрезки NK и ML не только параллельны, но и равны, поскольку равны треугольники ND1K и MBL. Следовательно, четырёхугольник NKLM — параллелограмм.
Покажем, что его смежные стороны сечения взаимно перпендикулярны. Пусть P — проекция точки N на плоскость нижнего основания, тогда 
прямоугольные треугольники PAM и MBL равнобедренные, углы PMA и BML равны по 45°, а значит, 
то есть прямые PM и ML перпендикулярны. Но PM является проекцией наклонной NM, поэтому стороны параллелограмма NM и ML перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, сечение — прямоугольник.
По теореме Пифагора найдем длины смежных сторон: 
Тем самым MNKL — квадрат. Это и требовалось доказать.
б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A1B1. Тогда WA1 = NA1 как катеты равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть E — точка пересечения прямой WM с ребром AA1. Прямоугольные треугольники WA1Е и EAM подобны, а их катеты MA и WA1равны. Поэтому равны и другие катеты, а значит, Е — середина AA1. Аналогично плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F. В прямоугольнике AEFC противоположные стороны равны, поэтому 
Сечение — шестиугольник MENKFL — состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Найдём ОДЗ неравенства:
Применим теорему о знаке логарифма: знак 
на ОДЗ совпадает со знаком произведения 
Имеем:
С учётом ОДЗ получаем: 
или 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Заметим, что аргумент логарифма не меньше 1: 
при любых значениях х. Значит, логарифм положителен, если его основание больше 1, т. е. при 
и отрицателен, если его основание меньше 1, если 
При 
выражение 3x + 7 положительно, а при 
исходное неравенство равносильно неравенству 
откуда 
Таким образом, решение исходного неравенства:
или 
Приведём решение методом интервалов.
Найдем ОДЗ неравенства, значения переменной, при котором множители обращаются в 0, и значения переменной, при котором основание логарифма равно 1. Нанесем найденные значения на числовую ось и расставим знаки на промежутках между ними с учетом ОДЗ.
Это и даст ответ.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что 
а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если 
Решение. Точка O — центр описанной окружности около треугольника ABC, поэтому
Значит,
Найдём угол BIC:
Значит, 
поэтому точки B, O, I и C лежат на одной окружности.
б) Найдём угол BHC:
Значит, 
поэтому точки B, O, I, H и C лежат на одной окружности.
Поскольку 
получаем 
В равнобедренном треугольнике BOC имеем:
Прямая BH перпендикулярна AC, поэтому 
Значит, 
Биссектриса угла треугольника лежит внутри угла, образованного медианой и высотой, исходящими из той же вершины, поэтому лучи BH, BI и BO пересекают дугу окружности в указанном на рисунке порядке. Четырёхугольник BOIH вписан в окружность, поэтому
Ответ: б) 165°.
Примечание.
Полезно сравнить часть а) этой задачи с заданием 25 тренировочной работы МИОО № 1 в формате ГИА-9 от 1 октября 2013 года:
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
Решение. Пусть первоначальный вклад равен S млн рублей. Тогда в конце первого года вклад составит 1,1S, а в конце второго — 1,21S. В начале третьего года вклад составит 1,21S + 2, а в конце — 1,331S + 2,2. В начале четвёртого года вклад составит 1,331S + 4,2, а в конце — 1,4641S + 4,62.
По условию, нужно найти наибольшее целое S, для которого выполнено неравенство
откуда 
Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, размер первоначального вклада составляет 7 млн рублей.
Ответ: 7 млн рублей.
Приведем другое решение.
Ясно, что первоначальный вклад не мог равняться 11 млн руб., поскольку дважды пополнялся на 2 млн руб., но остался меньше 15 млн руб. Не мог он быть равным и 10 млн руб., поскольку пополнение такого вклада на 10% увеличивает его на миллион, а за 4 года было 4 таких пополнения. Аналогично проверяя 9, 8 и 7 млн рублей, убедимся, что наибольшим возможным размером начального вклада является 7 млн руб.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Запишем первое уравнение системы в виде
При 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат. Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы 
с прямой при условии 
Прямая пересекает прямую при 
и при 
пересекает правую ветвь гиперболы при 
пересекает левую ветвь гиперболы при 
проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при 
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
и при 
Ответ: 
Приведем аналитическое решение.
Запишем первое уравнение системы в виде
Тогда
При a = 0 система решений не имеет. В противном случае первое уравнение имеет корень 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 1.
Ответ:
Примечание.
Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гиперболы и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно получены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл: | 4 |
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?
Решение. а) Разобьём множество {100, 101, 102, ..., 199} на два множества пятидесятиэлементных множества следующим образом:
{100, 199, 102, 197, 104, 195, ..., 148, 151},
{101; 198; 103; 196; 105, 194, ..., 149, 150}.
Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)
б) Заметим, сумма чисел в подмножестве, которое будет содержать число 
будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку 
больше суммы всех остальных чисел:
Следовательно, множество {2; 4; 8; ...; 2200} не является хорошим.
Другое объяснение.
Одно из двух подмножеств, на которое мы хотим разбить исходное множество, будет содержать число 2. Тогда сумма чисел в этом подмножестве будет кратна 2, но не кратна 4, а сумма чисел во втором подмножестве будет кратна 4. Таким образом, суммы чисел в подмножествах не равны, и исходное множество не является хорошим.
Третье объяснение.
Полусумма всех чисел исходного множества нечетна, а все элементы четны, поэтому на два множества с нечетной суммой исходное множество не разбить.
в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.
Единственное подмножество множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}, удовлетворяющее первому случаю, — это {3; 4; 5; 12}. Других вариантов нет, поскольку сумма трёх чисел, отличных от 3, 4 и 5, будет больше 12.
Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, нечетные числа 3 и 5 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.
Если 3 и 5 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 8 (что невозможно), либо разность двух других чисел равна 2. Получаем хорошие подмножества:
{3; 4; 5; 6}; {3; 5; 6; 8}; {3; 5; 8; 10}; {3; 5; 10; 12}.
Если 3 и 5 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве {4; 6; 8; 10; 12}. Получаем хорошие подмножества:
{4; 6; 8; 10}; {4; 6; 10; 12}; {6; 8; 10; 12}.
Всего найдено 8 хороших подмножеств: {3; 4; 5; 12}, {3; 4; 5; 6}; {3; 5; 6; 8}; {3; 5; 8; 10}; {3; 5; 10; 12}, {4; 6; 8; 10}; {4; 6; 10; 12}; {6; 8; 10; 12}. Других вариантов нет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― в п. в доказано, что множество содержит не более восьми хороших четырёхэлементных подмножеств; ― в п. в построены примеры восьми хороших четырёхэлементных подмножеств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 513612 | 32 |
| 2 | 513613 | 90 |
| 3 | 513614 | 6 |
| 4 | 513615 | 0,6 |
| 5 | 513616 | -12 |
| 6 | 513617 | 8 |
| 7 | 513618 | 4 |
| 8 | 513619 | 28 |
| 9 | 513620 | 12 |
| 10 | 513621 | 5500 |
| 11 | 513622 | 35 |
| 12 | 513623 | 0,5 |
| 13 | 513605 | а) б) |
| 14 | 513606 | а) доказано; б) 10. |
| 15 | 513607 | |
| 16 | 513608 | б) 165°. |
| 17 | 513609 | 7 млн рублей. |
| 18 | 513610 | |
| 19 | 513611 | а) да; б) нет; в) 8. |