1.
i
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника
Заголовок:
Комментарий:
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника
Найдите скалярное произведение векторов
и 
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Найдите значение выражения 
если 
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 
см.
от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние 
от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
На рисунке изображён график функции
Найдите значение x, при котором 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [−2,5; 0].
а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4,
а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.
Решите неравенство: 
В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что 
б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно 2 различных решения.
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
и гипотенузы 
имеем:
Скалярное произведение векторов равно 
поэтому при увеличении длины ребра на 
площадь S по сравнению с начальной площадью S0 увеличится на 
откуда 
тарелок. Поскольку качественных из них 
вероятность купить качественную тарелку равна
а 
Следовательно, 
график которой изображён на рисунке.
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции 
оси абсцисс. Имеем:
имеем: 
значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность 
в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого 
которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя 
Поэтому 
откуда
см.
откуда имеем: 
тогда
решим уравнение 
:
заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: 
Из неё следует, что 
Поэтому из исходного уравнения получаем:
б) 
б) 
Опустим перпендикуляр из 
Значит, 
Следовательно, треугольники 
Поскольку BN : NO = 3 (по теореме о точке пересечения медиан), а 
(по условию), заключаем, что 
то есть 
Значит, отрезок NK — медиана треугольника BNS. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку BN = SN как соответственные медианы равных треугольников. Следовательно, отрезок NK является также и высотой треугольника BNS. Точки N, P и K лежат на одной прямой, а потому прямая NP перпендикулярна прямой BS.
Из треугольника SOB получим 
Тогда в треугольнике KNB
Тогда угол NKB равен 90°, то есть прямые 
Пусть 
Тогда неравенство системы принимает вид: 
Значит, 
Тогда на второй объект будет направлено 
рабочих — суточная заработная плата составит 
В день начальник будет должен платить рабочим 
у. е. 
Это квадратичная функция, старший коэффициент положителен, следовательно, она имеет наименьшее значение при x0 = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:
Кроме того, 
Значит, треугольник AME равен треугольнику CMK и тоже прямоугольный, следовательно, 
как угол в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив катета, который в два раза меньше гипотенузы.
а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что 
Значит, B — середина CP.
поэтому 
а так как 
AD — средняя линия треугольника BQP. Значит, 
и 
перпендикулярны по условию, так как являются направляющими векторами для соответствующих перпендикулярных прямых, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
тогда 
Значит, 
что и требовалось доказать.
Значит, точка P имеет координаты (0; 2m). Зная координаты точек, принадлежащих прямым BK и AP, найдём уравнения этих прямых:
и Q равно
Значит, треугольник CMA равнобедренный. Поэтому угол BAC равен углу ACM. Следовательно,
то есть 
поэтому 
Отсюда получаем, что 
Значит, 
поэтому 
Отсюда получаем, что 
Значит, 
поэтому 
и по теореме Пифагора 
По тереме синусов с учётом свойств вертикальных и смежных углов получаем: 
все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу 
точки которой соответствуют нулям знаменателя. 
в уравнение 
и решая полученное уравнение, найдем точки пересечения окружности и параболы: 
и 
— точка касания. Для найденных точек числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.
, то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна