К окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, про­ве­де­ны три ка­са­тель­ные. Пе­ри­мет­ры от­се­чен­ных тре­уголь­ни­ков равны 6, 8, 10. Най­ди­те пе­ри­метр дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

Най­ди­те угол между век­то­ра­ми  и Ответ дайте в гра­ду­сах.

Объем куба равен Най­ди­те его диа­го­наль.

Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Физик» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Физик» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них хо­зяй­ствах. 40% яиц из пер­во­го хо­зяй­ства  — яйца выс­шей ка­те­го­рии, а из вто­ро­го хо­зяй­ства  — 20% яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую ка­те­го­рию по­лу­ча­ет 35% яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо, куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции Най­ди­те b, учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния боль­ше 0.

Дат­чик скон­стру­и­ро­ван таким об­ра­зом, что его ан­тен­на ловит ра­дио­сиг­нал, ко­то­рый затем пре­об­ра­зу­ет­ся в элек­три­че­ский сиг­нал, из­ме­ня­ю­щий­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну где t  — время в се­кун­дах, ам­пли­ту­да U₀  =  2 В, ча­сто­та ω  =  120°/с, фаза φ  =  –30°. Дат­чик на­стро­ен так, что если на­пря­же­ние в нeм не ниже чем 1 В, за­го­ра­ет­ся лам­поч­ка. Какую часть вре­ме­ни (в про­цен­тах) на про­тя­же­нии пер­вой се­кун­ды после на­ча­ла ра­бо­ты лам­поч­ка будет го­реть?

Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%. Сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го до­хо­да семьи со­став­ля­ет зар­пла­та жены?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те a.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 6.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми AC и BC₁ равен 60°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и BC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Жанна взяла в банке в кре­дит 1,2 млн руб­лей на срок 24 ме­ся­ца. По до­го­во­ру Жанна долж­на вно­сить в банк часть денег в конце каж­до­го ме­ся­ца. Каж­дый месяц общая сумма долга воз­рас­та­ет на 2%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Жан­ной банку в конце ме­ся­ца. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые Жан­ной, под­би­ра­ют­ся так, чтобы сумма долга умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц. Какую сумму Жанна вы­пла­тит банку в те­че­ние пер­во­го года кре­ди­то­ва­ния?

Диа­го­наль AC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD с цен­тром O об­ра­зу­ет со сто­ро­ной AB угол 30°. Точка E лежит вне пря­мо­уголь­ни­ка, причём ∠BEC  =  120°.

а)  До­ка­жи­те, что ∠CBE  =  ∠COE.

б)  Пря­мая OE пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD пря­мо­уголь­ни­ка в точке K. Най­ди­те EK, если из­вест­но, что BE  =  40 и CE  =  24.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но n чисел a_i (i  =  1, 2, …, n). Каж­дое из них не мень­ше 50 и не боль­ше 150. Каж­дое из этих чисел умень­ша­ют на r_i%. При этом либо r_i  =  2%, либо число a_i умень­ша­ет­ся на 2, то есть ста­но­вит­ся рав­ным a_i − 2 (какие-⁠то числа умень­ши­лись на число 2, а какие-⁠то  — на 2 про­цен­та).

а)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел r₁, r₂, …, r_n быть рав­ным 5?

б)  Могло ли так по­лу­чить­ся, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел r₁, r₂, …, r_n боль­ше 2, при этом сумма чисел a₁, a₂ … a_n умень­ши­лась более чем на 2n?

в)  Пусть всего чисел 30, а после вы­пол­не­ния опи­сан­ной опе­ра­ции их сумма умень­ши­лась на 40. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел r₁, r₂, …, r_n.