PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Даны векторы 
и 
Найдите длину вектора 
Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13; 1].
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a = 5000 км/ч2. Скорость вычисляется по формуле 
где l — пройденный автомобилем путь в км. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В
На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. Плоскость α проходит через ребро AB и пересекает ребра SC и SD в точках M и N соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите косинус угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.
Решите неравенство 
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тысячу рублей?
В треугольнике ABC проведены высота AH и медиана AM, угол ACB равен 30°. Точка H лежит на отрезке BM. В треугольнике ACM проведена высота MQ. Прямые MQ и AH пересекаются в точке F. Известно, что AM — биссектриса угла HAC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника CFM, если AB = 10.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.
а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?
б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?
в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и n2.
и 
км/ч,
км/ч.
(часов), отсюда имеем:
Значит, 
По графику g(2) = 1, тогда 
Значит, 
—
Следовательно, площадь трапеции равна
откуда AH = AQ и AC = 2AQ. Далее, AQ = QC, а из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим: AM = MC. Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
откуда
а потому смежный с ним 
В четырехугольнике AQMH сумма градусных мер противолежащих углов равна 180°, значит, он вписанный. Отсюда 
и, как следствие, 
Из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим AM = MC. Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
значит, 
Далее 
как вертикальные углы, откуда в прямоугольном треугольнике FHM получаем 
и 
Следовательно, 
и
тогда 
Раскроем модули:
значение функции 
равно 
На 
функция 
причем каждое ровно один раз. Поскольку исходное уравнение должно иметь ровно два различных корня, квадратное уравнение 
должно иметь два решения, каждое из которых отлично от −4. Тогда 
и 
:
Следовательно, n2 не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 563.
и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы 
было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа 
было кратно 28. Заметим, что один из множителей должен быть четным, что повлечет за собой четность второго, поскольку они отличаются на 2. Более того, один из множителей должен нацело делиться на 7. Минимальное натуральное четное число, кратное 7 — это 14, откуда n = 13. В качестве примера можно выбрать числа 1, 169 = 132 и еще 8 любых других чисел, дающих при делении на 28 остаток 1.