РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 76963436

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Дальний Восток

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен $56 градусов,$ угол CAD равен $53 градусов.$ Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\veca = левая круглая скобка 17; 0 правая круглая скобка ,$ $\vecb = левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка .$ Найдите длину вектора $\veca плюс 12\vecb.$

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB  =  9, BC  =  6, AA₁  =  5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A₁, B₁, C₁.

В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 15 из них встречается вопрос по теме «страны Европы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «страны Европы».

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,9. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 4x минус 23 конец аргумента = 3.$

Найдите значение выражения $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и отмечены точки −2, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v _0 = 30$  м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 4$  м/с $в квадрате .$ За t секунд после начала торможения он прошел путь $S = v _0 t минус дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 112 метров. Ответ выразите в секундах.

10.  

Один мастер может выполнить заказ за 45 часов, а другой  — за 30 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

11.  

На рисунке изображен график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение f(−4).

12.  

Найдите точку максимума функции $y= натуральный логарифм левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка минус 10x плюс 12.$

13.  

а)  Решите уравнение $синус 2x минус синус левая круглая скобка x минус Пи правая круглая скобка = 0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 5 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

14.  

В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания ABC равны 12, а боковые ребра  — 25. На ребрах AB, AC и SA отмечены точки F, E и K соответственно. Известно, что AE  =  AF  =  10, AK  =  15.

а)  Докажите, что объем пирамиды KAEF составляет $дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби$ от объема пирамиды SABC.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KEF.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство: $дробь: числитель: 49 в степени x минус 6 умножить на 7 в степени x плюс 3, знаменатель: 7 в степени x минус 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 6 умножить на 7 в степени x минус 39, знаменатель: 7 в степени x минус 7 конец дроби меньше или равно 7 в степени x плюс 5.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

17.  

Пятиугольник ABCDE  — вписанный, точка M  — пересечение диагоналей BE и AD. Известно, что BCDM  — параллелограмм.

а)  Докажите, что две стороны пятиугольника равны.

б)  Найдите AB, если известно, что $B E = 12,$ $B C = 5,$ $A D = 9.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

18.  

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 3x минус 9 правая круглая скобка = |x минус 3| в кубе ,y=x плюс a конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1)  Если $x больше 3,$ то получаем уравнение

$левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 3x минус 9 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 9 правая круглая скобка равносильно y=x в квадрате минус 9x плюс 18.$

Полученное уравнение задаёт параболу $y=x в квадрате минус 9x плюс 18.$

2)  Если $x=3,$ то координаты любой точки прямой $x=3$ удовлетворяют уравнению.

3)  Если $x меньше 3,$ то получаем уравнение

$левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 3x минус 9 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 9 правая круглая скобка равносильно y= минус x в квадрате плюс 3x.$

Полученное уравнение задаёт параболу $y= минус x в квадрате плюс 3x.$

Таким образом, в первом случае мы получаем дугу $\omega_1$ параболы $y=x в квадрате минус 9x плюс 18$ c концом в точке $A левая круглая скобка 3; 0 правая круглая скобка ,$ во втором  — прямую l, задаваемую уравнением х  =  3, в третьем  — дугу $\omega_2$ параболы $y= минус x в квадрате плюс 3x$ с концом в точке А (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую m, параллельную прямой $y=x$ или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a  =   −3.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку. Запишем уравнения $x в квадрате минус 9x плюс 18 = x плюс a$ и $минус x в квадрате плюс 3x = x плюс a$ как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при $a= минус 7$ и $a= 1$ прямые m касаются дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении а, имеет одну общую точку с дугой $\omega_1$ при $a= минус 7$ и $a больше минус 3,$ имеет две общие точки с дугой $\omega_1$ при $минус 7 меньше a меньше или равно минус 3,$ имеет одну общую точку с дугой $\omega_2$ при $a меньше минус 3$ и $a=1,$ имеет две общие точки с дугой $\omega_2$ при $минус 3 меньше или равно a меньше 1.$

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l и дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при

$минус 7 меньше a меньше минус 3;$ $минус 3 меньше a меньше 1.$

Ответ: $минус 7 меньше a меньше минус 3;$ $минус 3 меньше a меньше 1.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличащееся от искомого только включением/исключением точки а = −3	3
C помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a: $левая круглая скобка минус 7; минус 3 правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка минус 3; 1 правая круглая скобка$ ; возможно, с включением граничных точек	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл:	4

19.  

На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на две кучки.

а)  Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?

б)  Могут ли массы двух этих кучек быть равны?

в)  Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660708	109
2	660709	13
3	660710	135
4	660711	0,4
5	660712	0,271
6	660713	8
7	660714	-1
8	660715	4
9	660716	7
10	660717	18
11	660718	81
12	660719	9,1
13	660666	а)   $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $4 Пи ;$ $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $5 Пи .$
14	660691	б)   $10 корень из: начало аргумента: 57 конец аргумента .$
15	660697	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 7 5; 1 правая круглая скобка .$
16	660699	1 029 000.
17	660701	б) 10.
18	660705	а)  да; б)  нет; в)  4 кг.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Дальний Восток

Ключ