Ре­ше­ние. а)  Из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства сле­ду­ет, что от­ку­да по­лу­ча­ем:

то есть

По­ло­жим тогда:

Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния равен −1, по­это­му оно не имеет кор­ней. Урав­не­ние имеет ко­рень Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что сто­ро­ны тре­уголь­ни­ков MB₁K и ABN со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Тогда от­ку­да на­хо­дим:

б)  Так как вы­со­та приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 2, ее объем равен удво­ен­ной пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, тогда пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 6. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABN равна и равна пло­ща­ди по­доб­ных тре­уголь­ни­ков MB₁K и ABN от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, тогда

Пусть BH и B₁H₁  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ков ABN и MB₁K, тогда

от­сю­да По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

За­ме­тим, что по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах H₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AN, сле­до­ва­тель­но, H₁H  — вы­со­та тра­пе­ции AMKN. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции AMKN:

Ответ:

Ре­ше­ние. Зна­ме­на­тель дроби по­ло­жи­те­лен при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, для ко­то­рых опре­де­лен. Сле­до­ва­тель­но, для зна­че­ний пе­ре­мен­ной, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию

чис­ли­тель дроби дол­жен быть не­от­ри­ца­тель­ным. Имеем:

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем ответ: или

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим для удоб­ства из­на­чаль­ную сумму кре­ди­та за S  =  800 тыс. руб. Пусть x  — по­сто­ян­ная сумма на ко­то­рую умень­ша­ет­ся долг каж­дый июль с 2026 по 2030 год, а y  — с 2031 по 2035 года. Тогда суммы долга в июле по годам с 2025 по 2035 со­ста­вят:

Из ра­вен­ства за 2030 год сле­ду­ет, что x  =  120 тыс. руб., а из по­след­не­го ра­вен­ства сле­ду­ет, что x + y  =  160 тыс. руб. от­ку­да y  =  40 тыс. руб.

Пусть тогда про­цен­ты, на­чис­лен­ные с 2026 по 2035 год, со­ста­вят:

а вы­пла­ты в со­от­вет­ству­ю­щие годы будут:

Тогда сумма вы­плат яв­ля­ет­ся сум­мой двух раз­лич­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий по пять чле­нов в каж­дой, она равна:

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. а)  Из сим­мет­рии от­но­си­тель­но от­рез­ка EK по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ни­ки EMK и EBK равны, сле­до­ва­тель­но, Пусть Тогда

Зна­чит,

Таким об­ра­зом, углы AEM и KMC равны.

б)  Пусть и По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ни­ки AEM и CMK по­доб­ны (по двум углам). Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен:

Таким об­ра­зом, от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEM и MKC равно:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOy гра­фи­ком по­лу­чен­ной си­сте­мы будет объ­еди­не­ние пря­мой и дуги окруж­но­сти ра­ди­у­са 2 с цен­тром в точке ле­жа­щей не ниже пря­мой (вы­де­ле­но оран­же­вым). Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся пучок пря­мых, про­хо­дя­щих через точку

Окруж­ность и пря­мая пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках и

Пусть при пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке A, при   — в точке D, при пря­мая про­хо­дит через точку B, при   — через точку С. Тогда ис­ход­ная си­сте­ма

  — при имеет одно ре­ше­ние;

  — при не имеет ре­ше­ний;

  — при имеет одно ре­ше­ние;

  — при   — два ре­ше­ния;

  — при   — три ре­ше­ния;

  — при   — два ре­ше­ния;

  — при   — три ре­ше­ния;

  — при   — два ре­ше­ния;

  — при   — одно ре­ше­ние.

Найдём зна­че­ния a₁, a₂, a₃ и a₄.

Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки B:

Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки C:

Зна­че­ния a₁ и a₄ найдём из гео­мет­ри­че­ских со­об­ра­же­ний. Квад­ра­ты от­рез­ков ка­са­тель­ных равны про­из­ве­де­нию от­рез­ков се­ку­щих

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что

б)  Об­ра­тим вни­ма­ние, что

Если

то от­ку­да что не­воз­мож­но для на­ту­раль­ных чисел.

в)  Если то

По­сколь­ку чис­ли­тель этой дроби по­ло­жи­те­лен. При зна­ме­на­тель тоже по­ло­жи­те­лен и вы­брав дробь (и толь­ко ее, за­ме­тим), рав­ную мы по­лу­чим тре­бу­е­мое x. Од­на­ко еще нужно, чтобы эта дробь ока­за­лась пра­виль­ной, то есть чтобы от­ку­да

Итак, все числа мень­ше могут быть по­лу­че­ны. Само же по­лу­ча­ет­ся, толь­ко если

от­ку­да a  =  b, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  

Ком­мен­та­рий.

В вы­ра­же­нии воз­мож­но при­дет­ся сна­ча­ла про­ве­сти пре­об­ра­зо­ва­ния, чтобы оно пре­вра­ти­лось в двух­этаж­ную дробь и со­кра­тить ее. На пра­виль­ность это не по­вли­я­ет.