РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 52083418

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Дальний Восток

Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Найдите объем пирамиды, вписанной в куб, если ребро куба равно 3.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх команда «Физик» как минимум один раз начнет игру первой.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Найдите корень уравнения: $корень из: начало аргумента: 4x плюс 32 конец аргумента =8.$

Найдите $5 косинус 2 альфа ,$ если $синус альфа = минус 0,4.$

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа \nu T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =5,75$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

Один рабочий пропалывает грядку за 12 часов, а двое рабочих вместе пропалывают грядку за 4 часа. За сколько часов прополет грядку второй рабочий?

10.  

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =29.$

11.  

Найдите точку минимума функции $y=x в кубе минус 24 x в квадрате плюс 11.$

12.  

а)  Решите уравнение $2 логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка плюс 2=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

13.  

Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что $A K: K C=3:7.$ Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN  — квадрат со стороной 3.

а)  Докажите, что ребра AB и CD взаимно перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN, если объем тетраэдра ABCD равен 100.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

14.  

Решите неравенство $дробь: числитель: 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 7, знаменатель: 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x плюс 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2 в степени x минус 9, знаменатель: 2 в степени x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени x минус 6 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

15.  

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

  — в январе каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению с предыдущим годом;

  — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна 375 000 рублей?

Год (номер года)	Долг в январе (в руб.)	Выплата (в руб.)	Долг в июле (в руб.)
2023			S
2024 (1)	kS	x	$kS минус x$
2025 (2)	$k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка$	x	$k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x$
2026 (3)	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка$	x	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x$
2027 (4)	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка$	x	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x=0$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

16.  

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а)  Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б)  Пусть L  — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC  =  16.

Решение. а)  Пусть O  — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA  — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK  — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K  — середина AB. Аналогично M  — середина AC, поэтому KM  — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.

б)  Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H  — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

$OH= корень из: начало аргумента: OB в квадрате минус BH в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 100 минус 64 конец аргумента =6.$

Пусть Q  — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

$OF = OH минус FH =OH минус QP = 6 минус 5 = 1,$ $PH в квадрате =QF в квадрате =QO в квадрате минус OF в квадрате = 25 минус 1 =24,$ $OP в квадрате =OH в квадрате плюс PH в квадрате = 36 плюс 24 = 60,$

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

$AP= корень из: начало аргумента: OA в квадрате минус OP в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 100 минус 60 конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Отрезок KM  — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,

$AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Ответ: б) $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).

а)  Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда $\angle TAB=\angle ACB$ и $\angle TAB=\angle AMK,$ поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда $\angle ACB=\angle AMK.$ равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.

б)  По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM  — средняя линия треугольника ABC, и $AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP$ по теореме Фалеса. Осталось найти AР.

Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рис. справа). Тогда H  — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: $OP:OH=OA:OP,$ то есть $OP:6=10:OP.$ Следовательно, $OP= корень из: начало аргумента: 60 конец аргумента .$ По теореме Пифагора $AP= корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента .$ Окончательно получаем: $AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Примечание Дмитрия Гущина.

Читатель, изучающий углубленный курс геометрии или занимавшийся в кружке, сразу заметит, что при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 меньшая окружность переходит в большую, а хорда KM переходит в хорду BC. Из этого сразу следует и параллельность прямыx KM и BC, и соотношение $BC = 2 KM.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 5 x минус 7 конец аргумента умножить на натуральный логарифм левая круглая скобка x в квадрате минус 6 x плюс 10 минус a в квадрате правая круглая скобка =0$

имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

18.  

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?

Решение. а)  Да. Первым ходом Егор отрежет от линейки 8 см и получит две линейки по 8 см. Вторым ходом отрежет ото всех линеек 4 см и получит четыре линейки по 4 см. Третьим отрежет по 2 см и получит 8 линеек по 2 см. Последним, четвертым, ходом он отрежет по 1 см и получит 16 частей по 1 см.

б)  Нет. За один ход Егор делит некоторое количество своих частей на две, поэтому каждым ходом общее количество частей увеличивается не более, чем в 2 раза. Следовательно, за 5 ходов Егор получит не более 32 частей, а необходимо получить 100 частей.

в)  За восемь ходов Егор получит не более 256 частей, а необходимо получить 300 частей, поэтому восьми ходов не хватит. Покажем, как Егор может разделить линейку за девять ходов. Каждым ходом, кроме последнего, Егор отрезает указанную часть от всех имеющихся у него линеек. Последним ходом Егор отрезает 1 см только от линеек, длина которых больше одного сантиметра.

Ход	Было линеек	Отрезано	Стало линеек
1	300 см	150 см	2 по 150 см
2	2 по 150 см	75 см	4 по 75 см
3	4 по 75 см	37 см	4 по 37 см и 4 по 38 см
4	4 по 37 см и 4 по 38 см	19 см	12 по 19 см и 4 по 18 см
5	12 по 19 см и 4 по 18 см	9 см	20 по 9 см и 12 по 10 см
6	20 по 9 см и 12 по 10 см	5 см	44 по 5 см и 20 по 4 см
7	44 по 5 см и 20 по 4 см	2 см	84 по 2 см и 44 по 3 см
8	84 по 2 см и 44 по 3 см	1 см	212 по 1 см и 44 по 2 см
9	212 по 1 см и 44 по 2 см	1 см	300 по 1 см

Ответ: а)  да, может; б)  нет, не может; в)  за 9 ходов.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639618	21
2	639619	9
3	639620	0,875
4	639621	0,76
5	639622	8
6	639623	3,4
7	639624	-7
8	639625	6
9	639626	6
10	639627	5
11	639628	16
12	639630	б) 4,2.
13	639634	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 89, знаменатель: конец аргумента конец дроби 5; минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 89, знаменатель: конец аргумента конец дроби 5 правая круглая скобка .$
14	639635	а)  да, может; б)  нет, не может; в)  за 9 ходов.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Дальний Восток

Ключ