Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

б)  С по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти отберём корни на от­рез­ке На­хо­дим:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са. Тогда сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. Пусть его сто­ро­на равна a, зна­чит,

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­кам ASC и BSC, по­лу­чим:

Впи­сан­ный угол ACB опи­ра­ет­ся на диа­метр, по­это­му он равен 90°. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный, и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Под­став­ляя длины сто­рон, вы­ра­жен­ные через a, по­лу­ча­ем:

Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из усло­вий поль­зу­ясь преды­ду­щим пунк­том, на­хо­дим:

Най­дем пло­щадь ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии тет­ра­эд­ра тре­уголь­ни­ка ABC:

От­ре­зок SO  — вы­со­та тет­ра­эд­ра  — вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ASB, от­ку­да Найдём объем тет­ра­эд­ра:

Ответ: б)

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са. Тогда сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

За­ме­тим, что, по­сколь­ку угол ACB опи­ра­ет­ся на диа­метр, он равен 90°. Тогда Тогда

б)  По усло­вию тогда от­ку­да Далее,

От­ре­зок SO  — вы­со­та тет­ра­эд­ра, Окон­ча­тель­но найдём объем тет­ра­эд­ра:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Под­ста­вим:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. За 15 ме­ся­цев долг дол­жен умень­шит­ся на  тыс. руб. Зна­чит, еже­ме­сяч­ное умень­ше­ние долга долж­но со­став­лять  тыс. руб. По усло­вию долг перед бан­ком (в тыс. руб­лей) по со­сто­я­нию на 15-⁠е число дол­жен умень­шать­ся до нуля сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r %. Пусть тогда по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в тыс. руб­лей) по со­сто­я­нию на 1-е число та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в тыс. руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

Всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. а)  Пусть AM  =  2x, MB  =  3x, BN  =  3y, NC  =  2y. Тогда тре­уголь­ни­ки ABC и MBN по­доб­ны, и пря­мые MN и AC па­рал­лель­ны. По­сколь­ку MN  =  3t, AC  =  5t. По свой­ству опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка,

тогда

От­сю­да Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть P  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной AC, O  — центр окруж­но­сти. Тогда пря­мые OK и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые OP и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые MN и AC па­рал­лель­ны. Тогда точки K, O и P лежат на одной пря­мой, и AMKP  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Пусть AP  =  x. За­ме­тим, что

от­ку­да PC  =  8 − x. Тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Из дру­гой пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции по­лу­ча­ем, что

От­сю­да тогда ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, равен 3.

Ответ: б) 3.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ивана Ива­но­ва.

Тре­уголь­ни­ки ABC и MBN по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия тогда тогда:

Пусть F  — точка ка­са­ния окруж­но­сти и сто­ро­ны AB, E  — точка ка­са­ния окруж­но­сти и сто­ро­ны CB, тогда От­рез­ки BF и BE равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки, сле­до­ва­тель­но,

По до­ка­зан­но­му в пунк­те а) Решая си­сте­му урав­не­ний, по­лу­чим AB  =  17, BC  =  15.

Для тре­уголь­ни­ка ABC вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство сле­до­ва­тель­но, он пря­мо­уголь­ный, и его пло­щадь равна С дру­гой сто­ро­ны, тогда

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда гра­фи­ки функ­ций и и пря­мая имеют с пря­мой три раз­лич­ных точки пе­ре­се­че­ния на об­ла­сти (см. рис.).

Из ри­сун­ка видно, что при одно ре­ше­ние, при три ре­ше­ния, при два ре­ше­ния, при одно ре­ше­ние.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. На­при­мер,

б)  Нет. По­сколь­ку 126 крат­но 9, среди сла­га­е­мых была дробь со зна­ме­на­те­лем 9. Зна­чит, по­след­ние цифры у чисел были равны 6, 7, 8, 9. Пусть это были 10x + 6, 10x + 7, 10x + 8, 10x + 9, тогда

от­ку­да

в)  Если у чисел по­след­ни­ми циф­ра­ми были 1, 2, 3, 4, то сумма по­лу­чит­ся

Зна­чит, нужно вы­брать наи­боль­шее дву­знач­ное x, крат­ное 6. Это 96, что дает сумму

Если же по­след­ние цифры какие-⁠то дру­гие, то каж­дое сла­га­е­мое не пре­вос­хо­дит и общая сумма не пре­вос­хо­дит

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  2004.