В треугольник ABC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке P. Точка M — середина AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите углы треугольника ABC, если 
и 
Радиус окружности в 2 раза больше MP.
а) Пусть 
K и N — точки касания окружности со сторонами BC и AC соответственно. Тогда CK = CN, BK = BP, AN = AP, откуда
откуда 
В случае AC > BC решение полностью аналогично.
б) Пусть CM = AM = BM, следовательно, по признаку прямоугольного треугольника, угол C равен 90°. Пусть O — центр окружности. Тогда CNOK — квадрат, т. к. все его углы прямые, а CN = CK. Пусть CK = OK = r, BK = x. Тогда 
откуда
Запишем теорему Пифагора для треугольника ABC:
откуда 
Следовательно, 
Ответ: б)