Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  С по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти отберём корни на от­рез­ке На­хо­дим:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть H  — про­ек­ция точки D на плос­кость ABC, M и N  — про­ек­ции точки H на пря­мые AC и AB со­от­вет­ствен­но. Тогда, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые DM и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые DN и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AMH и ANH равны, AH  — бис­сек­три­са угла BAC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AH и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, и, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые AD и BC также пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AH и BC. Пря­мые AK и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые DH и BC также пер­пен­ди­ку­ляр­ны, тогда пря­мая BC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ADK, а вы­со­та KE тре­уголь­ни­ка AKD яв­ля­ет­ся ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем. Угол HAM равен 30°, тогда

Сле­до­ва­тель­но, Окон­ча­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть 15-⁠го числа 25-⁠го ме­ся­ца долг со­ста­вит x тысяч руб­лей. По усло­вию, долг перед бан­ком (в тыс. руб­лей) по со­сто­я­нию на 15-⁠е число дол­жен умень­шать­ся до нуля сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в тыс. руб­лей) по со­сто­я­нию на 1-⁠е число та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в тыс. руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

Всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. а)  Пусть K и N  — точки ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC и AC со­от­вет­ствен­но. Тогда CK  =  CN, BK  =  BP, AN  =  AP, от­ку­да

от­ку­да В слу­чае AC > BC ре­ше­ние пол­но­стью ана­ло­гич­но.

б)  Пусть CM  =  AM  =  BM, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, угол C равен 90°. Пусть O  — центр окруж­но­сти. Тогда CNOK  — квад­рат, т. к. все его углы пря­мые, а CN  =  CK. Пусть CK  =  OK  =  r, BK  =  x. Тогда от­ку­да

За­пи­шем тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ABC:

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­пи­шем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы в виде

При левая часть не имеет смыс­ла. При урав­не­ние задаёт пря­мую и ги­пер­бо­лу (см. рис.). При каж­дом зна­че­нии a урав­не­ние задаёт пря­мую с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том a, про­хо­дя­щую через на­ча­ло ко­ор­ди­нат.

Число ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы равно числу точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы с пря­мой при усло­вии

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую при и при пе­ре­се­ка­ет пра­вую ветвь ги­пер­бо­лы при пе­ре­се­ка­ет левую ветвь ги­пер­бо­лы при про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы при

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет три раз­лич­ных корня при и при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. На­при­мер,

б)  Нет. До­пу­стим, это воз­мож­но. Сразу за­ме­тим, что для лю­бо­го n-⁠знач­но­го числа ре­зуль­тат де­ле­ния на первую цифру не мень­ше и не боль­ше по­это­му среди наших чисел нет че­ты­рех­знач­ных, но есть трех­знач­ные. По­сколь­ку зна­ме­на­тель 72 может по­явить­ся толь­ко при сло­же­нии дро­бей со зна­ме­на­те­ля­ми 8 и 9, эти че­ты­ре числа имеют среди своих пер­вых цифр и 8, и 9, по­это­му среди них точно есть 899 и 900. Тогда мак­си­маль­но воз­мож­ная сумма со­ста­вит

в)  Если все эти числа на­чи­на­ют­ся с одной и той же цифры x, то сумма равна

что не может быть целым при x  =  4. Кроме того, сумма чис­ли­те­лей не пре­вос­хо­дит

зна­чит, сумма не пре­вос­хо­дит

Этот ответ до­сти­га­ет­ся для чисел 596, 597, 598, 599. Если же пер­вые цифры могут быть раз­лич­ны­ми, то одно из чисел крат­но 100, по­это­му ре­зуль­тат де­ле­ния его на первую цифру это 100. Любой дру­гой ре­зуль­тат не пре­вос­хо­дит

по­это­му сумма че­ты­рех ре­зуль­та­тов не пре­вос­хо­дит

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  478.