а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на реб­рах AB, A₁B₁ и B₁C₁ от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но так, что KLMC  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 4 и 8.

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми KLM и ABC, если пло­щадь тра­пе­ции KLMC равна

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 300 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен за два года, причём в пер­вый год будет вы­пла­че­но 260 000 руб­лей, а вто­рой год  —  169 000 руб­лей.

На сто­ро­нах BC и CD квад­ра­та ABCD от­ме­че­ны точки E и K со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AE  =  3, EK  =  1,

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCK.

Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно 4 раз­лич­ных ре­ше­ния.

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из фут­бо­ли­стов по­се­ти­те­ли сайта счи­та­ют луч­шим по ито­гам се­зо­на. Каж­дый по­се­ти­тель го­ло­су­ет за од­но­го фут­бо­ли­ста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рей­тинг каж­до­го фут­бо­ли­ста – доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, в про­цен­тах, округ­лен­ная до це­ло­го числа. На­при­мер, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округ­ля­ют­ся до 9, 11 и 13 со­от­вет­ствен­но.

а)  Всего про­го­ло­со­ва­ло 11 по­се­ти­те­лей сайта. Мог ли рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста быть рав­ным 38?

б)  Пусть по­се­ти­те­ли сайта от­да­ва­ли го­ло­са за од­но­го из трех фут­бо­ли­стов. Могло ли быть так, что все три фут­бо­ли­ста по­лу­чи­ли раз­ное число го­ло­сов, но их рей­тин­ги оди­на­ко­вы?

в)  На сайте отоб­ра­жа­лось, что рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста равен 5. Это число не из­ме­ни­лось и после того, как Вася отдал свой голос за этого фут­бо­ли­ста. При каком наи­мень­шем числе от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов го­ло­сов, вклю­чая Васин голос, такое воз­мож­но?