Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 541823

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а)  Докажите, что плоскость α параллельна SA

б)  Найдите угол между плоскостями  альфа и SBC.

Спрятать решение

Решение.

а)  Построим прямую MN параллельно CB и KP параллельно CB, M принадлежит AB, P принадлежит SB. Плоскость NMP параллельна BC и содержит NK, таким образом NMP искомая плоскость α. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:  дробь: числитель: SP, знаменатель: PB конец дроби = дробь: числитель: AM, знаменатель: MB конец дроби . Таким образом, PM параллельна SA, значит, SA параллельна α.

б)  Заметим, что NM параллельна DA и SA параллельна PM , тогда SDA ||  альфа , следовательно, угол между  альфа и плоскость SBC равен углу между плоскостями SBC и SDA. Тогда искомый угол равен двум углам FSO, где F  — середина BC, а O  — основание высоты пирамиды. Таким образом,

 синус \angle FSO = дробь: числитель: OF, знаменатель: SF конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 49 минус 9 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 корень из 10 конец дроби .

Тогда искомый угол  альфа = 2 арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 корень из 10 конец дроби .

 

Ответ:  2 арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 корень из 10 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 541379: 541823 Все

Источник: ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 2
Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии