Ре­ше­ние. Цену на те­ле­фон сни­зи­ли на 3000 − 2220  =  780 руб­лей. Раз­де­лим 780 на 3000:

Ответ: 26.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что 23 ян­ва­ря наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­став­ля­ла −13 °C, а наи­мень­шая −22 °C. Их раз­ность со­став­ля­ет 9 °C.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Про­ведём через точку E от­ре­зок EF, па­рал­лель­ный сто­ро­не AD. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма AEFD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADE равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма AEFD, или одной чет­вер­той пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Тогда ис­ко­мая пло­щадь тра­пе­ции BCDE равна трём четвёртым пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, т. е. 94,5.

Ответ: 94,5.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим раз­лич­ные ва­ри­ан­ты.

Сто­и­мость по­езд­ки на такси фирмы A будет скла­ды­вать­ся из сто­и­мо­сти 60 минут по­езд­ки, то есть 60 · 14  =  840 руб., а также сто­и­мо­сти по­да­чи такси и будет со­став­лять 200 + 840  =  1 040 руб.

Сто­и­мость по­езд­ки на такси фирмы Б будет скла­ды­вать­ся из сто­и­мо­сти ми­ни­маль­ной по­езд­ки, а также сто­и­мо­сти 45 минут по­езд­ки сверх ми­ни­маль­ной, то есть 300 + 45 · 17  =  300 + 765  =  1 065 руб.

Сто­и­мость по­езд­ки на такси фирмы В будет скла­ды­вать­ся из сто­и­мо­сти ми­ни­маль­ной по­езд­ки, а также сто­и­мо­сти 50 минут по­езд­ки сверх ми­ни­маль­ной и сто­и­мо­сти по­да­чи ма­ши­ны, то есть 120 + 50 · 16 + 200  =  320 + 800  =  1 120 руб.

Ответ: 1 040.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но ре­ша­ем урав­не­ние:

Ответ: 0.

Ре­ше­ние. Ме­ди­а­на, про­ведённая к ги­по­те­ну­зе, равна её по­ло­ви­не, по­это­му тре­уголь­ник ACM рав­но­бед­рен­ный. Тогда По­сколь­ку CH  — вы­со­та, По­это­му для ис­ко­мо­го угла имеем:

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на в тех точ­ках, ко­то­рые при­над­ле­жат участ­кам убы­ва­ния функ­ции. Это точки x₃, x₄, x₇  — всего 3 точки.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. От­ре­зок SO яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда от­ре­зок

Ответ: 96.

Ре­ше­ние. Рав­но­ве­ро­ят­ны 8 ис­хо­дов экс­пе­ри­мен­та, из ко­то­рых решка вы­па­да­ет три раза толь­ко в ис­хо­де решка-решка-решка. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что решка вы­па­дет все три раза равна

Ре­ше­ние. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, опи­сан­ный во­круг сферы, яв­ля­ет­ся кубом. Его объём равен кубу его ребра. Ребро куба вдвое боль­ше ра­ди­у­са сферы. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 39 304.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку по­ка­за­те­ли мак­си­маль­ны, они все равны 1. Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу и учтем, что рей­тинг равен 80:

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. Пусть u км/ч  — ско­рость те­че­ния реки, тогда ско­рость лодки по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость лодки про­тив те­че­ния равна км/ч. На об­рат­ный путь лодка за­тра­ти­ла на часа мень­ше, от­сю­да имеем:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках и

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ответ: −117.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

Пусть тогда урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде от­ку­да или

При по­лу­чим: от­ку­да

При по­лу­чим: от­ку­да

б)  Ко­рень не при­над­ле­жит про­ме­жут­ку По­сколь­ку и ко­рень при­над­ле­жит про­ме­жут­ку

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, со­дер­жа­щей его вер­ши­ну S и хорду AB  =  4,  — тре­уголь­ник ASB.

Две сто­ро­ны се­че­ния  — это об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са. Они равны, по­это­му тре­уголь­ник SAB рав­но­бед­рен­ный. В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках SOA и SOB, где O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, OA  =  OB  =  6, SO  =  8, от­ку­да

Тогда в тре­уголь­ни­ке SAB угол S наи­мень­ший (по­сколь­ку лежит про­тив мень­шей сто­ро­ны), а сле­до­ва­тель­но, ост­рый. Два дру­гих угла равны между собой, по­это­му тоже ост­рые. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник SAB ост­ро­уголь­ный.

б)  Пусть SH  — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB, Тогда от­ре­зок OH  — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB,

Пря­мые SH и OH пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой AB, по­это­му плос­кость SOH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ASB. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от точки O до плос­ко­сти ASB равно вы­со­те OM пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOH, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1.  Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай

Вто­рой слу­чай:

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы: или

2.  Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

3.  Пе­ре­се­кая по­лу­чен­ные мно­же­ства по­лу­чим ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ: (4; 5).

Ре­ше­ние. Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: хорды PQ и CD не пе­ре­се­ка­ют­ся (рис. 1), тогда ∠PQC  =  180° − ∠PDC.

В тре­уголь­ни­ках PQC и PDC

Зна­чит, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: хорды PQ и CD пе­ре­се­ка­ют­ся (рис. 2), тогда

В тре­уголь­ни­ках PQC и PDC

от­ку­да

Ответ: 4 или

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай: Ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

По­след­нее урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при от­ку­да Под­ста­вив в не­ра­вен­ство по­лу­чим: от­ку­да

В этом слу­чае урав­не­ние при усло­вии имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при и не имеет на про­ме­жут­ке кор­ней при и при

Вто­рой слу­чай: Ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

По­след­нее урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень Под­ста­вив в не­ра­вен­ство по­лу­чим: от­ку­да

В этом слу­чае урав­не­ние при усло­вии имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при и не имеет на про­ме­жут­ке кор­ней при

Урав­не­ние на про­ме­жут­ке

—  при не имеет кор­ней;

—  при имеет един­ствен­ный ко­рень

—  при имеет два раз­лич­ных корня и

—  при имеет един­ствен­ный ко­рень

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть ко­ли­че­ства еди­ниц, двоек, троек и четвёрок среди a₁, a₂, ..., a₃₅₀ равны m₁, m₂, m₃, m₄ со­от­вет­ствен­но. Тогда

а)  По усло­вию

Зная, что и решая си­сте­му ли­ней­ных, на­хо­дим: m₁  =  282, m₂  =  7, m₃  =  27, m₄  =  34. Зна­чит,

б)  Если где то В по­след­нем ра­вен­стве левая часть крат­на 5, а пра­вая  — нет, по­это­му S₄ не может быть рав­ным 4547.

в)  Если где то Кроме того, по­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Вы­чтем из пер­во­го по­лу­чен­но­го ра­вен­ства вто­рое:

Зна­чит, m₄ де­лит­ся на 5 и может рав­нять­ся толь­ко 0 или 5. При m₄  =  0 по­лу­ча­ем:

от­ку­да

При m₄  =  5 по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Ответ: а)  11 285; б)  нет; в)  905 или 917.