PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней выпадало более 2 миллиметров осадков.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
Найдите корень уравнения 
В треугольнике ABC
АС = 4. Найдите АВ.
Функция
определена на промежутке 
На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Найдите значение выражения 
если 
При нормальном падении света с длиной волны 
нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол 
(отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением 
Под каким минимальным углом 
(в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
б) Найдите периметр этого сечения.
Решите неравенство: 
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.
Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше −4?
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что 
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что 
в) Найдите все возможные значения натурального числа n при каждом которых значение выражения 
будет наименьшим.
то есть 
Далее имеем:
следовательно, 
откуда AB = 7.
нм на интервале 
при заданных значениях длины волны света 
нм и номера максимума 
: 
км/ч.
Уравнение 
не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. 
отрезку 
принадлежит только корень 
б) 
получить уравнение и решить его разложением на множители: 
Аналогично BK = 5.
получаем:
Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна основанию BC, а тогда 
как односторонние углы при пересечении параллельных прямых секущей. Следовательно, 
Для смежных углов справедливо равенство 
а потому 
В четырёхугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Тем самым, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, что и требовалось доказать. 
как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. В пункте а) было показано, что 
это означает, что 
и, следовательно, точки A, D, P и Q также лежат на одной окружности. 
и 
Значит, треугольники DPC и AQB подобны по двум углам. Следовательно, 
поскольку по условию отрезки DP и PC перпендикулярны. 
Осталось найти косинус угла CDA. Для этого на отрезке AD отметим точку E такую, что 
Тогда 
Для треугольника CDE запишем теорему косинусов:
Отсюда найдем
по теореме синусов для треугольника MPN можем найти радиус окружности, описанной около четырехугольника MPQN:
найдем MQ по теореме синусов для треугольника MQN:
раз,
раз.
тыс. руб. соответственно. Если бы Степан первоначально положил 40% капитала в первый банк, а 60% капитала во второй банк, то через год на счетах было бы 
тыс. руб.
а искомая величина суммы вклада к концу второго года при вложении 40% капитала в первый банк и 60% во второй равна 
тыс. руб.
и 
— парабола с отраженной отрицательной частью, перемещающаяся по оси абсцисс, с корнями 
и 
— изображённая на рисунке ломаная (выделена синим цветом). 
располагались выше графика 
Граничные способы подходящего расположения подвижного графика 
и параболы, задаваемой уравнением 
Они имеют единственную общую точку, а значит, уравнение 
имеет единственное решение. Запишем его в виде 
и найдем дискриминант полученного уравнения: 
откуда 
причем 
и производная возрастает на всей числовой оси. Для касания параболы и прямой необходимо, чтобы угловой коэффициент касательной был равен значению производной. Следовательно, если угловой коэффициент прямой меньше −2, то для определения граничного условия надо рассматривать касание прямой и левой ветви параболы. Если угловой коэффициент прямой больше 2, то необходимо рассматривать касание прямой и правой ветви параболы. Если же угловой коэффициент прямой находится в пределах от −2 до 2, то касание прямой и параболы будет в точке, расположенной на отрицательной части параболы, но эта часть симметрично отображена относительно оси абсцисс, следовательно, необходимо рассматривать условие прохождения прямой через корень параболы.
длина которого равна 
Следовательно, расстояние от 
Тогда 
поэтому из последнего неравенства получаем
Следовательно, 
Противоречие.
уменьшается. Поскольку при 
значение выражения 
—
равно расстоянию от 
Поэтому 
Следовательно, примером являются числа 71 и 50.
равносильно двойному неравенству 
Пусть, например, 
тогда 
Следовательно, двузначные числа 
и 
удовлетворяют исходному неравенству.
обязана быть очень близкой 
Последнее неравенство означает, что дробь 
следует, что несократимая дробь 
является подходящей дробью числа α. Подходящая дробь с большим номером приближает лучше, чем подходящая дробь с меньшим номером, поэтому в нашем случае (числитель и знаменатель — двузначные числа) лучше всего приближает дробь:
не выполняется, что приводит к противоречию. 
хватит, поскольку
Из неравенства треугольника:
Вновь рассмотрим разложение приближаемого числа в цепную дробь:
это как раз нужный нам числитель. Заметим, что
и 
—
и поскольку 
то дробь 
в которой дробь 
в свою очередь, находится. Аналогично с дробью 
соответствующая разность 
ещё больше.