Ша­ри­ко­вая ручка стоит 30 руб­лей. Какое наи­боль­шее число таких ручек можно будет ку­пить на 300 руб­лей после по­вы­ше­ния цены на 25%?

На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трёх суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время, по вер­ти­ка­ли  — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­ра­ми воз­ду­ха 24 ян­ва­ря. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Най­ди­те длину его ме­ди­а­ны, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе.

Ве­ро­ят­ность того, что ба­та­рей­ка бра­ко­ван­ная, равна 0,04. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет слу­чай­ную упа­ков­ку, в ко­то­рой две таких ба­та­рей­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе ба­та­рей­ки ока­жут­ся ис­прав­ны­ми.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те угол ACO, если его сто­ро­на CA ка­са­ет­ся окруж­но­сти, O  — центр окруж­но­сти, сто­ро­на CO пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках B и D, а дуга AD окруж­но­сти, за­клю­чен­ная внут­ри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−5; 4].

Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC, яв­ля­ю­щей­ся ча­стью пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCDEF, равен 48. Най­ди­те объем ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ав­то­мо­биль, масса ко­то­ро­го равна m  =  2000 кг, на­чи­на­ет дви­гать­ся с уско­ре­ни­ем, ко­то­рое в те­че­ние t се­кунд остаётся не­из­мен­ным, и про­хо­дит за это время путь S  =  1000 мет­ров. Зна­че­ние силы (в нью­то­нах), при­ло­жен­ной в это время к ав­то­мо­би­лю (тяги дви­га­те­ля), равно Опре­де­ли­те время после на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­би­ля, за ко­то­рое он прой­дет ука­зан­ный путь, если из­вест­но, что сила F, при­ло­жен­ная к ав­то­мо­би­лю, равна 1600 Н. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми A и B равно 470 км. Из го­ро­да A в город B вы­ехал пер­вый ав­то­мо­биль, а через 3 часа после этого нав­стре­чу ему из го­ро­да B вы­ехал со ско­ро­стью 60 км/⁠ч вто­рой ав­то­мо­биль. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля, если ав­то­мо­би­ли встре­ти­лись на рас­сто­я­нии 350 км от го­ро­да A. Ответ дайте в км/⁠ч.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S в грани SBC про­ве­де­на вы­со­та SH, а в грани SEF про­ве­де­на вы­со­та SK.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SHK.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и SH, если SA  =  13, а BC  =  10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность ра­ди­у­са 6 впи­са­на в угол, рав­ный 60°. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N . Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 4. Най­ди­те MN.

В ав­гу­сте 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 5 лет в раз­ме­ре 210 тыс. руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  —  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­щею года;

  —  с фев­ра­ля по июль каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  —  в ав­гу­сте 2026, 2027 и 2028 годов долг остаётся рав­ным 210 тыс. руб­лей;

  —  вы­пла­ты в 2029 и 2030 годах равны;

  —  к ав­гу­сту 2030 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что долг будет вы­пла­чен пол­но­стью и общий раз­мер вы­плат со­ста­вит 305 тыс. руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 19752... каж­дая цифра, на­чи­ная с пятой, равна по­след­ней цифре суммы преды­ду­щих четырёх цифр. Встре­тит­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти:

а)  набор цифр 1234; 3269;

б)  вто­рич­но набор 1975;

в)  набор 8197?