Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.
Плоскость 
проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда пересекает плоскость боковых граней по прямым D1E и D1F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD1N — сечение параллелепипеда плоскостью 
Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC1A1 и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.
По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому 
и 
По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D1B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.
б) Пусть K — середина ребра BB1 а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN. Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла. (Или: проведём перпендикуляры MK и KH, по теореме о трёх перпендикулярах MH — также перпендикуляр к BN, поэтому MHK — линейный угол искомого двугранного угла).
В прямоугольном треугольнике BKN имеем: 
откуда
Ответ: 
Приведем другое решение пункта а). Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому MN проходит через середину D1B. Кроме того, прямая MN параллельна прямой AC, а значит, и прямой EF. Из этого следует, что MN — средняя линия треугольника ED1F, а тогда точки M и N — середины рёбер параллелепипеда. Прямоугольные треугольники ABM и 
равны по гипотенузе и катету: 
Значит, 
а ABCD является квадратом.
Приведем еще одно решение пункта а).
Прямая АD является проекцией прямой МD1, а прямая СD является проекцией прямой ND1 на плоскость основания. Кроме того, МD1 = ND1. Тогда АD = DС. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит прямоугольник, следовательно, АВСD — квадрат.
Приведем другое решение пункта б).
Сечение является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: 
Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС1В1 является параллелограмм ВKС1N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС1В1 то есть 12. Поскольку 
для искомого угла между плоскостями получаем:
Ответ: 
Можно ли решить эту задачу (пункт а) таким образом:
Так как АD проекция МD1 и СD проекция ND1 и МD1 = ND1, то АD = DС. При этом, дан прямоугольный параллелепипед (то есть в основании прямоугольник), следовательно, АВСD — квадрат.
Да, можно. Добавили в решение.