Ре­ше­ние. Не ин­те­ре­су­ют­ся фут­бо­лом 45 000  0,3  =  13 500 че­ло­век, а ин­те­ре­су­ют­ся  — 45 000 − 13 500  =  31 500. Зна­чит, смот­ре­ли по те­ле­ви­зо­ру финал Лиги чем­пи­о­нов 31 500  0,8  =  25 200 че­ло­век.

Ответ: 25 200.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха 24 ян­ва­ря со­став­ля­ла − 21 °C, а наи­боль­шая − 12 °C (см. рис.). Сле­до­ва­тель­но, их раз­ность − 12 − (− 21)  =  9°C.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. По­это­му

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. В са­мо­ле­те 12 + 18  =  30 мест удоб­ны пас­са­жи­ру В., а всего в са­мо­ле­те 300 мест. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пас­са­жи­ру В. до­ста­нет­ся удоб­ное место, равна 30 : 300  =  0,1.

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −124.

Ре­ше­ние. Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тра­пе­ции, опи­са­на и во­круг тре­уголь­ни­ка Это тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, угол при вер­ши­не равен 120°, углы при ос­но­ва­нии равны 30°. Най­дем его бо­ко­вую сто­ро­ну:

от­ку­да Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние (Р. А., СПб.).

Хорды AD, DC и CB равны, по­это­му равны и стя­ги­ва­е­мые ими дуги. Впи­сан­ный угол А равен 60°, он опи­ра­ет­ся на две из этих дуг и равен по­ло­ви­не их суммы. По­это­му каж­дая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ яв­ля­ет­ся диа­мет­ром. От­сю­да по­лу­ча­ем, что ис­ко­мый ра­ди­ус равен 6.

При­ве­дем ре­ше­ние Анны Божко.

Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тра­пе­ции, опи­са­на и во­круг тре­уголь­ни­ка Это тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, угол при вер­ши­не равен 120°, углы при ос­но­ва­нии равны 30°. Тогда

Сле­до­ва­тель­но, угол ACB опи­ра­ет­ся на диа­метр, тогда AB  — диа­метр окруж­но­сти, и

Ре­ше­ние. Про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на в точ­ках, ле­жа­щих в про­ме­жут­ках убы­ва­ния: x₂, x₄, x₆ и x₈. Таких точек на гра­фи­ке 4.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник :

При этом Так как   — ост­рый, он равен

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Спо­соб 1: Тогда:

Спо­соб 2: раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби на Тогда:

Ответ: −9.

Ре­ше­ние. Най­дем ско­рость груза через 37 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Най­дем ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 37 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Ответ: 0,324

Ре­ше­ние. Пусть масса пер­во­го спла­ва кг, а масса вто­ро­го − кг. Тогда мас­со­вое со­дер­жа­ние ни­ке­ля в пер­вом и вто­ром спла­вах и со­от­вет­ствен­но. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 225 кг, со­дер­жа­щий 30% ни­ке­ля. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, пер­вый сплав легче вто­ро­го на 135 ки­ло­грам­мов.

Ответ: 135.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. а)  Ис­поль­зуя фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла и фор­му­лу при­ве­де­ния, имеем:

б)  При по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти на­хо­дим, что от­рез­ку при­над­ле­жит толь­ко ко­рень

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть MH  — вы­со­та пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH  — пря­мо­уголь­ный, от­ку­да

Тре­уголь­ник ABH  — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

За­ме­тим, что угол MNH -- ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла. Его синус равен По­это­му

б)  В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH вы­со­та

Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

где r  — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Воз­мож­ны два слу­чая a > b и a < b.

Пер­вый слу­чай. Че­ты­рех­уголь­ник опи­сан около окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, AD + BC  =  AB + CD  =  a + b. Че­ты­рех­уголь­ник впи­сан в окруж­ность, зна­чит, ∠BAD + ∠BCD=180°, но ∠MCD + ∠BCD  =  180°, от­ку­да ∠BAD = ∠MCD, сле­до­ва­тель­но, с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия

Обо­зна­чим через P пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABM, тогда если P₁  — пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка CDM,

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Вто­рой слу­чай. Ана­ло­гич­но слу­чаю 1 имеем:

Ответ: или

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку на­хо­дим, что Найдём зна­че­ние k:

Зна­чит,

По ри­сун­ку на­хо­дим, что Найдём зна­че­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов a и b:

Зна­чит,

Найдём абс­цис­су точки B:

Таким об­ра­зом, Найдём ор­ди­на­ту точки B:

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся корни урав­не­ния

не сов­па­да­ю­щие с чис­ла­ми a и −2.

Если яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния

то от­ку­да или

Если яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния

то от­ку­да или

Имеем:

—  при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень

—  при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень

—  при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень

Кроме этого, урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, не рав­ный a и –2, если его дис­кри­ми­нант равен 0.

Зна­чит, урав­не­ние

—  имеет ровно два раз­лич­ных корня при

—  имеет ровно один ко­рень при или

—  не имеет кор­ней при или

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно один ко­рень при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть a  =  10, b  =  20, c  =  14 и d  =  72. Тогда

б)  Пред­по­ло­жим, что Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, имеем

Сле­до­ва­тель­но, числа и имеют раз­ные знаки и не могут быть равны. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Из усло­вия сле­ду­ет, что и Зна­чит, От­сю­да, учи­ты­вая, что число b целое, по­лу­ча­ем, что b ≤ 24.

Ис­поль­зуя не­ра­вен­ства

по­лу­ча­ем

Пусть a  =  97, b  =  24, c  =  71 и d  =  10. Тогда Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние дроби равно

Ответ: а)  да, на­при­мер, если a  =  10, b  =  20, c  =  14 и d  =  72; б)  нет; в)