Ре­ше­ние. Чис­лен­ность детей в го­ро­де N со­став­ля­ет 300 000 · 0,2  =  60 000. Чис­лен­ность взрос­ло­го на­се­ле­ния 300 000 − 60 000  =  240 000 че­ло­век. Из них не ра­бо­та­ет 240 000 · 0,35  =  84 000 че­ло­век. Зна­чит, ра­бо­та­ет 240 000 − 84 000  =  156 000 че­ло­век.

Ответ: 156 000.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра со­став­ля­ет −14 °C (см. рис.).

Ответ: −14.

Ре­ше­ние. Най­дем квад­рат ра­ди­у­са круга см²

Пло­щадь фи­гу­ры равна трем чет­вер­тым пло­ща­ди этого круга. По­это­му

Ответ: 13,5.

Ре­ше­ние. В кар­ма­не было 4 кон­фе­ты, а вы­па­ла одна кон­фе­та. По­это­му ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна одной чет­вер­той.

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Если дробь равна еди­ни­це, зна­чит, её зна­ме­на­тель равен чис­ли­те­лю.

Ответ: -2.

Ре­ше­ние.

Ответ: 0,28.

Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию пер­во­об­раз­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 5) спра­вед­ли­во ра­вен­ство

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния f(x)  =  0 яв­ля­ют­ся точки экс­тре­му­мов изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции F(x) Это точки −2,4; −0,8; −0,6; −0,2; 0,6; 1; 1,2; 1,8; 2,2; 2,8; 3,2; 3,8. Из них на от­рез­ке [−2; 4] лежат 11 точек. Таким об­ра­зом, на от­рез­ке [−2; 4] урав­не­ние f(x)  =  0 имеет 11 ре­ше­ний.

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре скре­щи­ва­ю­щи­е­ся ребра пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Каж­дая сто­ро­на се­че­ния яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей со­от­вет­ству­ю­щей грани, ко­то­рая, как из­вест­но, в 2 раза мень­ше па­рал­лель­ной ей сто­ро­ны и равна по­это­му 16. Зна­чит, се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся квад­рат со сто­ро­ной 16. Тогда пло­щадь се­че­ния

Ответ: 256.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 0,008.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха К, на­чаль­но­го дав­ле­ния атм и ко­ли­че­ства воз­ду­ха моль:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна Пусть масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: −1.

Ре­ше­ние. а)  Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на, если и При этом

По­это­му урав­не­ние можно пе­ре­пи­сать в виде:

б)  C по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку По­лу­чим число

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. При­мем ребро куба за еди­ни­цу. Тогда

а)  По опре­де­ле­нию угла между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми, он равен углу между пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми па­рал­лель­ны­ми дан­ным. Пря­мая  BC па­рал­лель­на пря­мой  AD, зна­чит, ис­ко­мый угол равен углу CBE.

б)  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CBE с пря­мым углом C имеем:

Ответ также может быть пред­став­лен в сле­ду­ю­щем виде: или

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку сразу имеем x > 2. По­это­му Это зна­чит, что Для пер­во­го не­ра­вен­ства имеем Вто­рое не­ра­вен­ство вы­пол­не­но все­гда, по­сколь­ку при всех t из-⁠за от­ри­ца­тель­но­сти дис­кри­ми­нан­та (за­ме­на ). Таким об­ра­зом,

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть точки O и P ― цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD со­от­вет­ствен­но, R и r ― ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, а точки E и F ― точки, в ко­то­рых окруж­но­сти ка­са­ют­ся от­рез­ка BD. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ABD и BCD на­хо­дим:

Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ляр OK на пря­мую FP (см. рис. 1, 2). Ис­ко­мое рас­сто­я­ние OP на­хо­дим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Пер­вый слу­чай (точка D лежит между точ­ка­ми A и С, см. рис. 1):

Вто­рой слу­чай (точка C лежит между точ­ка­ми A и D, см. рис. 2):

Ответ: или

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим через S раз­мер кре­ди­та. В конце 1-⁠го, 2-⁠го и 3-⁠го годов заёмщик вы­пла­чи­ва­ет по млн. Всего за три года.

Рас­смот­рим по­га­ше­ние кре­ди­та за сле­ду­ю­щие два года. В се­ре­ди­не 4-⁠го года долг воз­растёт до млн. Обо­зна­чим через x раз­мер вы­пла­чи­ва­е­мой суммы в конце 4-⁠го и 5-⁠го годов. После вы­пла­ты в конце 4-⁠го года долг равен а в се­ре­ди­не 5-⁠го года он равен В конце 5-⁠го года весь долг дол­жен быть по­га­шен, то есть по­след­няя вы­пла­та равна и по усло­вию равна Зна­чит,

и общий раз­мер вы­плат равен По усло­вию

При это не­ра­вен­ство верно, а при оно не­вер­но, как и при мень­ших

Ответ: 6 млн руб.

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, если x под­хо­дит в это не­ра­вен­ство, то и тоже под­хо­дит. По­это­му ре­ше­ние может быть един­ствен­ным толь­ко в том слу­чае, если это ре­ше­ние Кроме того, при не­ра­вен­ство долж­но об­ра­тить­ся в ра­вен­ство, иначе при до­ста­точ­но близ­ких к нулю x не­ра­вен­ство про­дол­жит вы­пол­нять­ся (по не­пре­рыв­но­сти пра­вой части на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния). Итак,

Нуль не яв­ля­ет­ся по­ло­жи­тель­ным чис­лом, зна­чит, не со­от­вет­ству­ет усло­вию.

При имеем:

Решим это не­ра­вен­ство. По­сколь­ку зна­ме­на­тель по­ло­жи­те­лен, умно­жим на него:

Итак, под­хо­дит.

Ответ: При этом

При­ведём дру­гое ре­ше­ние (Дмит­рий Irmos).

Пусть Зна­ме­на­тель по­ло­жи­те­лен при a > 0, по­это­му можно на него до­мно­жить обе части не­ра­вен­ства, не меняя его знака. Имеем:

Рас­смот­рим слу­чай Число 0 яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства (*) при При­чем при не­ра­вен­ство не имеет дру­гих ре­ше­ний, от­лич­ных от нуля. Дей­стви­тель­но, для имеем:

Пусть те­перь Тогда не­ра­вен­ство (*) можно за­пи­сать в виде:

Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние боль­ше 17, ко­рень боль­ше 4, а зна­чит, вы­ра­же­ние в скоб­ках по­ло­жи­тель­но. Сле­до­ва­тель­но, левая часть не­ра­вен­ства (**) яв­ля­ет­ся сум­мой не­от­ри­ца­тель­но­го и по­ло­жи­тель­но­го вы­ра­же­ний. По­это­му оно не имеет ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, число 0 яв­ля­ет­ся един­ствен­ным ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства для тех и толь­ко тех по­ло­жи­тель­ных зна­че­ний па­ра­мет­ра a, ко­то­рые яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния От­сю­да a  =  4.

Ре­ше­ние. а)   Если за сто­лом было 5 маль­чи­ков, евших толь­ко бу­тер­бро­ды, 8 маль­чи­ков, евших толь­ко кон­фе­ты, и 12 де­во­чек, каж­дая из ко­то­рых ела и то и дру­гое, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, в груп­пе из 25 детей могло быть 13 маль­чи­ков.

б)  Пред­по­ло­жим, что маль­чи­ков было 14 или боль­ше. Тогда де­во­чек было 11 или мень­ше. Пусть число маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды равно m₁. Тогда число не боль­ше , чем доля маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды среди всех детей, евших бу­тер­бро­ды, а это число не боль­ше, чем от­ку­да и, сле­до­ва­тель­но, Пусть m₂  — число маль­чи­ков, евших кон­фе­ты. Ана­ло­гич­но, от­ку­да, учи­ты­вая, что m₂ число целое, на­хо­дим: Но тогда общее число маль­чи­ков, евших хоть что-то не боль­ше, чем 5 + 7  =  12. Сле­до­ва­тель­но, по край­ней мере, 2 маль­чи­ка ни­че­го не ели, а это про­ти­во­ре­чит усло­вию.

В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что в груп­пе из 25 уча­щих­ся могло быть 13 маль­чи­ков. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков в груп­пе  — 13.

в)  Пред­по­ло­жим, что не­ко­то­рый маль­чик ел и кон­фе­ты, и бу­тер­бро­ды. Если бы вме­сто него было два маль­чи­ка, один из ко­то­рых ел толь­ко кон­фе­ты, а дру­гой  — толь­ко бу­тер­бро­ды, то доля маль­чи­ков, евших кон­фе­ты и доля маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды, оста­лись бы преж­ни­ми, а общая доля де­во­чек стала бы мень­ше. Зна­чит, для оцен­ки наи­мень­шей доли де­во­чек можно счи­тать, что каж­дый маль­чик ел или толь­ко кон­фе­ты, или толь­ко бу­тер­бро­ды.

Пусть, как пре­жде, m₁ маль­чи­ков ели бу­тер­бро­ды, m₂ ели кон­фе­ты, и всего было d де­во­чек. Оце­ним долю де­во­чек. Будем счи­тать, что каж­дая де­воч­ка ела и кон­фе­ты, и бу­тер­бро­ды, по­сколь­ку их доля в груп­пе от этого не из­ме­нит­ся, а доля среди евших кон­фе­ты и доля среди евших бу­тер­бро­ды не ста­нут мень­ше.

По усло­вию зна­чит,

Тогда по­это­му доля де­во­чек равна

Оста­лось по­ка­зать, что такая доля де­во­чек дей­стви­тель­но могла быть. На­при­мер, если из 70 детей 15 маль­чи­ков ели толь­ко бу­тер­бро­ды, 22 маль­чи­ка ели толь­ко кон­фе­ты, и еще было 33 де­воч­ки, каж­дая из ко­то­рых ела и то, и дру­гое, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но, а доля де­во­чек в точ­но­сти равна

Ответ: а)  да; б)  13; в)