Фут­бол­ка сто­и­ла 360 руб­лей. После по­вы­ше­ния цены она стала сто­ить 378 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов была по­вы­ше­на цена на фут­бол­ку?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена зо­ло­та, уста­нов­лен­ная Цен­тро­бан­ком РФ во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — цена зо­ло­та в руб­лях за грамм. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую цену зо­ло­та за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях за грамм.

Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1; 7), (4; 5), (4; 7), (1; 9).

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 16 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Тарас Ку­ни­цын. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Тарас Ку­ни­цын будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, Най­ди­те AC.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го Ответ дайте в гра­ду­сах.

Най­ди­те если

Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) не­ко­то­ро­го дви­га­те­ля опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где   — тем­пе­ра­ту­ра на­гре­ва­те­ля (в гра­ду­сах Кель­ви­на),   — тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка (в гра­ду­сах Кель­ви­на). При какой ми­ни­маль­ной тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля КПД этого дви­га­те­ля будет не мень­ше если тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка  К? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Кель­ви­на.

Даша и Маша про­па­лы­ва­ют гряд­ку за 18 минут, а одна Маша  — за 54 ми­ну­ты. За сколь­ко минут про­па­лы­ва­ет гряд­ку одна Даша?

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 4, а бо­ко­вое ребро SA равно 5. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит вер­ши­на C, на дру­гой  — ос­но­ва­ние AB рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Из­вест­но, что AB  =  10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник ABC, а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

За время хра­не­ния вкла­да в банке про­цен­ты по нему на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но сна­ча­ла в раз­ме­ре 5%, затем 12%, потом и, на­ко­нец, 12,5% в месяц. Из­вест­но, что под дей­стви­ем каж­дой новой про­цент­ной став­ки вклад на­хо­дил­ся целое число ме­ся­цев, а по ис­те­че­нии срока хра­не­ния пер­во­на­чаль­ная сумма уве­ли­чи­лась на Опре­де­ли­те срок хра­не­ния вкла­да.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет хотя бы одна пара чисел x и y, удо­вле­тво­ря­ю­щих не­ра­вен­ству

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние n! + 5n + 3 = k², где n! = 1·2·...·n  — про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до n.