Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 511602

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Спрятать решение

Решение.

а) Прямая MN параллельна плоскости ABC, поэтому сечение пересекает плоскость ABC по прямой PQ, параллельной MN. Рассмотрим плоскость SCE. Пусть K — точка пересечения этой плоскости и прямой MN, L — точка пересечения этой плоскости и прямой PQ, O — центр основания пирамиды. Плоскости SCE и MNQ перпендикулярна плоскости ABC, поэтому прямая KL перпендикулярна плоскости ABC, а значит, параллельна прямой SO. Поскольку MN — средняя линия треугольника ASB, точка K является серединой ES. Значит, L — середина EO. Медиана CE треугольника ABC делится точкой O в отношении 2 : 1. Значит, CL : LE = 5 : 1.

б) В трапеции MNQP имеем:

MN= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби =2,PQ= дробь: числитель: 5AB, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби ,KL= дробь: числитель: SO, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из (SC в квадрате минус CO в квадрате ) , знаменатель: 2 конец дроби = корень из ( дробь: числитель: 59, знаменатель: 12 конец дроби ) .

Значит, площадь трапеции MNPQ равна  дробь: числитель: MN плюс PQ, знаменатель: 2 конец дроби умножить на KL = дробь: числитель: 4 корень из (177) , знаменатель: 9 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 4 корень из (177) , знаменатель: 9 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 509948: 510107 511602 513095 513096 Все

Методы геометрии: Свойства медиан