Боль­но­му про­пи­са­но ле­кар­ство, ко­то­рое нужно при­ни­мать по 0,5 г 4 раза в день в те­че­ние 16 дней. В одной упа­ков­ке 10 таб­ле­ток ле­кар­ства по 0,5 г. Ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства упа­ко­вок хва­тит на весь курс ле­че­ния?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Эли­сте с 7 по 18 де­каб­ря 2001 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней из дан­но­го пе­ри­о­да вы­па­да­ло менее 2 мил­ли­мет­ров осад­ков.

Около окруж­но­сти опи­са­на тра­пе­ция, пе­ри­метр ко­то­рой равен 84. Най­ди­те длину её сред­ней линии.

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 50 спортс­ме­нок: 24 из США, 13 из Мек­си­ки, осталь­ные  — из Ка­на­ды. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Ка­на­ды.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 100°, угол CAD равен 64°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной функ­ции и шесть точек на оси абс­цисс: В сколь­ких из этих точек функ­ция воз­рас­та­ет?

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а диа­метр ос­но­ва­ния  — 8. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Груз мас­сой 0,4 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость υ ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где t  — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T  =  2 с  — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где m  — масса груза в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 60 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 11-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 17-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Ре­ши­те урав­не­ние

Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна 8. Плос­кость β, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна 5.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние шара плос­ко­стью α есть круг.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Дан пря­мо­уголь­ник KLMN со сто­ро­на­ми: KN = 13, MN = 6. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну М, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с цен­тром К ра­ди­у­са 3 и пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Q. Най­ди­те QK.

По биз­нес-плану пред­по­ла­га­ет­ся из­на­чаль­но вло­жить в четырёхлет­ний про­ект 10 млн руб­лей. По ито­гам каж­до­го года пла­ни­ру­ет­ся при­рост вло­жен­ных средств на 15% по срав­не­нию с на­ча­лом года. На­чис­лен­ные про­цен­ты оста­ют­ся вло­жен­ны­ми в про­ект. Кроме этого, сразу после на­чис­ле­ний про­цен­тов нужны до­пол­ни­тель­ные вло­же­ния: по це­ло­му числу n млн руб­лей в пер­вый и вто­рой годы, а также по це­ло­му числу m млн руб­лей в тре­тий и четвёртый годы.

Най­ди­те наи­мень­шие зна­че­ния n и m, при ко­то­рых пер­во­на­чаль­ные вло­же­ния за два года как ми­ни­мум удво­ят­ся, а за че­ты­ре года как ми­ни­мум утро­ят­ся.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно ре­ше­ний.

По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дый член по­сле­до­ва­тель­но­сти (кроме пер­во­го и по­след­не­го) боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них (сто­я­щих рядом с ним) чле­нов.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, со­сто­я­щей из пяти чле­нов, сумма ко­то­рых равна 60.

б)  Может ли такая по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из пяти чле­нов и со­дер­жать два оди­на­ко­вых числа?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чле­нов такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при n  =  8?