РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 11755421

Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по 0,5 г 4 раза в день в течение 16 дней. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 2 миллиметров осадков.

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 84. Найдите длину её средней линии.

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные  — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Найдите корень уравнения $\log _\tfrac17 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = минус 2.$

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 100°, угол CAD равен 64°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$ производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и шесть точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots,$ $x_6.$ В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ возрастает?

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $16 Пи ,$ а диаметр основания  — 8. Найдите высоту цилиндра.

Найдите значение выражения $дробь: числитель: \log _29, знаменатель: \log _49 конец дроби .$

10.  

Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=0,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 60 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

11.  

Смешали некоторое количество 11-⁠процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-⁠процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

12.  

Найдите наибольшее значение функции $y=15x минус 3 синус x плюс 5$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .$

13.  

Решите уравнение $дробь: числитель: 2 косинус в квадрате x минус 2 косинус x косинус 2x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус x конец аргумента конец дроби =0.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.

а)  Докажите, что сечение шара плоскостью α есть круг.

б)  Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Решение. а)  Пусть α  — секущая плоскость и О  — центр шара. Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость α и обозначим через F основание этого перпендикуляра.

Пусть X  — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости α. По теореме Пифагора $OX в квадрате = OF в квадрате плюс FX в квадрате .$ ОХ не больше радиуса R шара, поэтому $F X меньше или равно корень из: начало аргумента: R в квадрате минус OF в квадрате конец аргумента ,$ то есть любая точка сечения шара плоскостью α находится от точки F на расстоянии, не большем $корень из: начало аргумента: R в квадрате минус OF' в квадрате конец аргумента ,$ следовательно, она принадлежит шару. Это значит, что любая точка сечения шара плоскостью α лежит в круге с центром в точке F.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару и лежит в плоскости α, а это значит, что сечение шара плоскостью α есть круг с центром в точке F.

б)  Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры сечений  — кругов. Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями α и β дано на рисунке.

FD  — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью α, тогда $S_ альфа = Пи умножить на FD в квадрате = 8$   — площадь сечения меньшего шара плоскостью α.

AB  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью β, тогда $S_ бета = Пи умножить на AB в квадрате = 5$   — площадь сечения большего шара плоскостью β.

CF  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α.

Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников получаем:

$OF в квадрате =OC в квадрате минус CF в квадрате =OD в квадрате минус FD в квадрате ,$

откуда

$CF в квадрате =OC в квадрате минус OD в квадрате плюс FD в квадрате =OB в квадрате минус OA в квадрате плюс FD в квадрате =AB в квадрате плюс FD в квадрате .$

Площадь сечения большего шара плоскостью α:

$S= Пи умножить на CF в квадрате = Пи умножить на AB в квадрате плюс Пи умножить на FD в квадрате = 13.$

Ответ: б) 13.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство $дробь: числитель: 9 в степени x минус 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 4, знаменатель: 3 в степени x минус 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 51, знаменатель: 3 в степени x минус 9 конец дроби \leqslant3 в степени x плюс 5.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 13, MN = 6. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 3 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

17.  

По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс |y| минус 15=0, новая строка x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка =2 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец системы .$

имеет ровно $6$ решений.

Решение. Запишем систему в виде

$система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс |y| = 16, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате = a в квадрате . конец системы .$

Полагая $u = x минус 1,$ получим систему

$система выражений u в квадрате плюс |y| = 16, u в квадрате плюс y в квадрате = a в квадрате . конец системы .$

имеющую то же количество решений. Кроме того, если пара чисел (u; y)  — решение системы, то и пары чисел (u; −y), (−u; y), (−u; −y) также является решениями системы. Таким образом, если u ≠ 0 и y ≠ 0, то число решений кратно четырем. Значит, если система имеет ровно 6 решений, то либо $u = 0,$ либо $y = 0.$

Если u  =  0, то $y = \pm 16,$ следовательно, $a = \pm 16.$ Система

$система выражений u в квадрате плюс |y| = 16, u в квадрате плюс y в квадрате = 256 конец системы .$

имеет два решения: (0; 16), (0; −16), поэтому этот случай не подходит.

Если y  =  0, то $u в квадрате = 16,$ следовательно, $a = \pm 4.$ Получаем систему:

$система выражений u в квадрате плюс |y| = 16, u в квадрате плюс y в квадрате = 16 конец системы . равносильно система выражений y в квадрате = |y|, u в квадрате плюс |y| = 16 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений y = 0, y = 1, y = минус 1, конец системы . u в квадрате плюс |y| = 16. конец совокупности .$

Она имеет 6 решений, поскольку каждому значению y соответствует два разных значения u.

Ответ: $a= минус 4, a = 4.$

Приведем идею графического решения.

Запишем систему в виде

$система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс |y|=16, новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате . конец системы .$

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):

$y= система выражений новая строка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,y больше или равно 0, новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 16,y меньше 0. конец системы .$

Второе уравнение задает окружность радиусом $|a|$ с центром $левая круглая скобка 1; 0 правая круглая скобка .$

На рисунке видно *, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки $левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 5; 0 правая круглая скобка ,$ пересекая части параболы еще в четырех точках. При этом радиус окружности равен $4,$ откуда $a= минус 4$ или $a=4.$

*) Докажем это. Рассмотрим на отрезке [–3; 5] функции:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате$ и

$g левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .$

Их графиками являются соответственно часть параболы и верхняя полуокружность с центром в точке (1; 0) радиусом |a|.

При любом значении параметра а справедливо следующее:

а)  Графики функций симметричны относительно прямой x  =  1, поскольку эта прямая является осью симметрии параболы, и центр окружности лежит на этой прямой.

б)  Функции f и g не могут иметь больше четырех общих точек, поскольку уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеет не больше четырех решений. Действительно,

$16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента \Rightarrow левая круглая скобка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 31 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0,$ $16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента \Rightarrow левая круглая скобка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 31 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0,$ $16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента \Rightarrow$
$\Rightarrow левая круглая скобка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 31 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0,$

а уравнение четвертой степени имеет не больше четырех корней.

в)  Из пунктов  а) и б) следует, что слева от прямой x  =  1 графики функций имеют не более двух общих точек, и каждой общей точке графиков при $x меньше 1$ соответствует симметричная относительно прямой x  =  1 общая точка графиков.

При $a=\pm 4$ функции f и g обладают следующими свойствами:

г)  Функции f и g в точке x  =  –3 принимают одно и то же значение, а потому точка (–3; 0) и симметричная ей точка (5; 0) являются общими точками графиков.

д)  Правые касательные лучи к графикам в точке x  =  –3 составляют с осью абсцисс разные углы, поскольку касательный луч к окружности вертикален, а касательный луч к параболе  — нет.

е)  Из пунктов г) и д) следует, что на правой полуокрестности точки x  =  –3 график функции f лежит ниже графика функции g.

ё) В точке x  =  1 график функции f лежит выше графика функции g (вершина параболы лежит над окружностью), поскольку $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 16,$ $g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 2.$

ж)  Из пунктов  е) и ё) следует, что на интервале (–3; 1) графики функций f и g имеют общую точку, а потому имеют и симметричную ей относительно прямой x  =  1 общую точку на интервале (1; 5).

з) Из пунктов  б) и ж) следует, что графики функций f и g на отрезке [–3; 5] имеют четыре общие точки, а больше четырех общих точек быть не может.

и) Рассмотрим теперь функции −f и –g, их графики симметричны графикам функций f и g относительно оси абсцисс (на рисунке это парабола, вершина которой лежит ниже оси абсцисс, и нижняя полуокружность). Проводя аналогичные рассуждения получим, что при $a=\pm 4$ графики функций –f и –g имеют на отрезке [–3; 5] имеют ровно четыре общие точки.

к) Точки (–3; 0) и (5; 0) являются общими для графиков f и g и −f и –g, поэтому из пунктов  з) и и) следует, что при $a=\pm 4$ система уравнений $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс |y|=16,$ $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате$ имеет ровно шесть решений.

Осталось показать, что прочие значения параметра не подходят. Оставим это читателю в качестве упражнения.

Примечание Дмитрия Гущина.

Обратим внимание читателя, что использовать графический способ решения задач можно только в том случае, когда «увиденные» на графиках свойства либо:

а)  очевидны: например, окружность, заключающая вершину параболы, имеет с ней ровно две общие точки;

б)  изучены в школьном курсе: например, прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, является касательной к ней;

в)  напрямую следуют из изученного материала: квадратичная функция является выпуклой вверх или вниз (это доказывается путем устного взятия второй производной).

Если вы не можете в один-два шага устно объяснить какой-то снятый с рисунка факт, считать его доказанным нельзя. Скажем, невертикальную прямую, имеющую единственную общую точку с параболой, не следует без необходимости называть касательной: проверяющий ЕГЭ эксперт может посчитать это необоснованным. В таком случае на апелляции вам поможет, только если вы объясните, как быстро устно прийти к такому заключению или в каком учебнике упомянуто это свойство. Другой пример: на рисунке изображена окружность с центром, лежащим внутри параболы на ее оси, имеющая с параболой ровно две общие точки. По рисунку нельзя заключать, что эти точки являются точками касания. А потому и заключение, что при небольшом увеличении радиуса окружности точек пересечения станет четыре не будет обоснованным. Также из рисунка нельзя делать вывод о том, могут ли окружность и парабола иметь ровно три точки касания и т. д.

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

19.  

Последовательность $a_1, a_2,...,a_n левая круглая скобка n\geqslant3 правая круглая скобка$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б)  Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  8?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510498	7
2	18895	9
3	54373	21
4	283479	0,26
5	26658	-42
6	505399	36
7	317745	2
8	285759	2
9	68817	2
10	513931	0,05
11	108681	14
12	26695	5
13	484549	$левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$
14	502115	б) 13.
15	514759	$левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 5;2 правая круглая скобка .$
16	500642	5 или $дробь: числитель: 41, знаменатель: 3 конец дроби .$
17	513431	4 и 1 млн руб.
18	484646	$a= минус 4, a = 4.$
19	514560	а) 4, 9, 13, 16, 18; б) да, например, 4, 9, 13, 13, 9; в) 36.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — в п. в приведён пример последоватеоьности, сумма членов которой равна 70; — в п. в обоснованно, что не существует последовательности, сумма членов которой меньше 70	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ