Ре­ше­ние. а)  Пусть AA₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, M  — се­ре­ди­на хорды BC. Тогда

Тре­уголь­ни­ки ABA₁ и ACA₁ равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. Зна­чит, BA₁  =  A₁C.

В рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ках BAC и BA₁C ме­ди­а­ны AM и A₁M яв­ля­ют­ся вы­со­та­ми. По­это­му ис­ко­мый угол между плос­ко­стя­ми равен углу ∠AMA₁. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AMA₁ имеем:

б)  Из пунк­та а) по­лу­ча­ем, что и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Объем пи­ра­ми­ды равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на одну треть пло­ща­ди ос­но­ва­ния. За­ме­тим, что у пи­ра­мид AKCM и BKCM общая вы­со­та, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны M. Ос­но­ва­ния этих пи­ра­мид  — тре­уголь­ни­ки AKC и BKC со­от­вет­ствен­но. У этих тре­уголь­ни­ков, в свою оче­редь, общая вы­со­та, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны C, по­это­му их пло­ща­ди от­но­сят­ся как Сле­до­ва­тель­но, так же от­но­сят­ся и объ­е­мы пи­ра­мид AKCM и BKCM.

б)  Пусть L  — се­ре­ди­на AB. Тогда

Пусть BN  — вы­со­та грани BMC, а MH  — вы­со­та грани AMC. По­счи­та­ем пло­ща­ди рав­ных тре­уголь­ни­ков BMC и AMC двумя раз­ны­ми спо­со­ба­ми: от­ку­да

Ис­ко­мый угол между гра­ня­ми равен углу, про­ти­во­ле­жа­ще­му ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ANB. Этот угол равен удво­ен­но­му углу BNL. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BNL имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние.

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, M  — се­ре­ди­на хорды AB. Дуга AB со­став­ля­ет чет­верть окруж­но­сти ос­но­ва­ния, по­это­му AOB  =  90°. Тре­уголь­ник AOB рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

по­это­му в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке APB ос­но­ва­ние мень­ше бо­ко­вой сто­ро­ны, зна­чит, угол при вер­ши­не наи­мень­ший, по­это­му он мень­ше

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник APB  — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок PM  — его вы­со­та,

Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния равна

Ответ:

Ре­ше­ние.

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, M  — се­ре­ди­на хорды Дуга AB со­став­ля­ет ше­стую часть окруж­но­сти ос­но­ва­ния, по­это­му Тре­уголь­ник AOB равноcто­ро­ний, сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник APB  — ис­ко­мое се­че­ние. как об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са. Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, его углы при ос­но­ва­нии ост­рые. Но угол P мень­ше угла B, по­сколь­ку он лежит на­про­тив мень­шей сто­ро­ны, по­это­му и угол  P тоже ост­рый. Таким об­ра­зом, до­ка­за­но, что тре­уголь­ник APB рав­но­бед­рен­ный и ост­ро­уголь­ный.

б)  От­ре­зок PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка APB:

Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть SABC  — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S, от­ре­зок SH  — ее вы­со­та, точка M  — се­ре­ди­на BC и от­ре­зок CK  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка BSC. Угол SMH  — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Пусть SM  =  4a. тогда

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SBC по­лу­чим:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BSC. Двумя спо­со­ба­ми:

Зна­чит,

Ребро AC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти SBH, по­это­му сто­ро­ны SB и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, плос­кость AKC пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SB. Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AKC:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть SABC  — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S, от­ре­зок SH  — ее вы­со­та, точка M  — се­ре­ди­на BC, CK  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Угол SMH  — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Пусть SM  =  6a. тогда

Обо­зна­чим вы­со­ту пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ную к BSC за h. Тогда h  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ASM. От­сю­да от­ку­да

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BSC двумя спо­со­ба­ми:

Зна­чит,

Ребро AC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти SBH, по­это­му SB и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, плос­кость AKC пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AKC:

Ответ: б)

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­это­му по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка LAE имеем: Тогда пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ELD равна:

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 505450.

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMB и CMB, они пря­мо­уголь­ные, имеют общую сто­ро­ну MB и рав­ные сто­ро­ны AB и BC, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум ка­те­там, зна­чит, Рас­смот­рим тре­уголь­ник AMC, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой ко­си­ну­сов найдём ко­си­нус угла

Из тре­уголь­ни­ка ADL найдём сто­ро­ну LD:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Найдём ко­си­нус угла MAB:

Из тре­уголь­ни­ка ALE найдём сто­ро­ну LE:

В тре­уголь­ни­ке ADE сле­до­ва­тель­но, он рав­но­бед­рен­ный, углы при ос­но­ва­нии равны. Угол CAB равен 60°, зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ADE рав­но­сто­рон­ний,

б)  Опу­стим вы­со­ту EH в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке LDE на ос­но­ва­ние Найдём EH:

Тре­уголь­ник DLE  — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка DLE можно было найти по фор­му­ле Ге­ро­на:

Ре­ше­ние.

а)  В тре­уголь­ни­ке ADE сле­до­ва­тель­но, он рав­но­бед­рен­ный, углы при ос­но­ва­нии равны. Угол CAB равен 60°, зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ADE  — рав­но­сто­рон­ний,

б)  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMB и они пря­мо­уголь­ные, имеют общую сто­ро­ну MB и рав­ные сто­ро­ны AB и BC, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум ка­те­там, зна­чит, Рас­смот­рим тре­уголь­ник AMC, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой ко­си­ну­сов найдём ко­си­нус угла

Из тре­уголь­ни­ка ADF найдём сто­ро­ну

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Найдём ко­си­нус угла

Из тре­уголь­ни­ка AFE найдём сто­ро­ну

Найдём ко­си­нус угла

Сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник DFE  — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б.

Пусть точка K  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Тогда FK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABM.

Опу­стим из точки K пер­пен­ди­ку­ляр KN на пря­мую DE.

За­ме­тим, что FK па­рал­лель­на MB, сле­до­ва­тель­но, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Тогда FN  —  на­клон­ная, KN  — ее про­ек­ция, и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах FN пер­пен­ди­ку­ляр­на DE. Тогда

Ре­ше­ние. а)  Пусть от­рез­ки LK и MO  — вы­со­ты пи­ра­мид LADE и MABC со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки ALK и AMO по­доб­ны, по­это­му Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ADE и ACB от­но­сят­ся как про­из­ве­де­ния сто­рон, со­дер­жа­щих угол A, то есть как

Тогда

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­ке ABC имеем:

Зна­чит, от­ре­зок DE делит ме­ди­а­ну, про­ведённую из вер­ши­ны A, в от­но­ше­нии 2 : 1, то есть со­дер­жит точку O. Кроме того, точка O  — се­ре­ди­на DE.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AMO. В нём Опу­стим из точки L пер­пен­ди­ку­ляр LK на сто­ро­ну AO. Тогда

Зна­чит,

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник DLE  — ис­ко­мое се­че­ние, а LO  — его вы­со­та. Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния равна

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. а)  Пусть от­рез­ки LK и MO  — вы­со­ты пи­ра­мид LADE и MABC со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки ALK и AMO по­доб­ны, по­это­му

Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ADE и ACB от­но­сят­ся как про­из­ве­де­ния сто­рон, со­дер­жа­щих угол A, то есть как Тогда

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­ке ABC имеем:

Зна­чит, от­ре­зок DE делит ме­ди­а­ну, про­ведённую из вер­ши­ны A, в от­но­ше­нии 2 : 1, то есть со­дер­жит точку O. Кроме того, O  — се­ре­ди­на DE.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AMO. В нём Опу­стим из точки L пер­пен­ди­ку­ляр LK на сто­ро­ну AO. Тогда

Зна­чит,

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник DLE  — ис­ко­мое се­че­ние, а LO  — его вы­со­та. Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния равна

Ответ: б)

Ре­ше­ние.

а)  а)  Объем пи­ра­ми­ды равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на одну треть пло­ща­ди ос­но­ва­ния. За­ме­тим, что у пи­ра­мид AKCM и BKCM общая вы­со­та, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны M. Ос­но­ва­ния этих пи­ра­мид  — тре­уголь­ни­ки AKC и BKC со­от­вет­ствен­но. У этих тре­уголь­ни­ков, в свою оче­редь, общая вы­со­та, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны C, по­это­му их пло­ща­ди от­но­сят­ся как Сле­до­ва­тель­но, так же от­но­сят­ся и объ­е­мы пи­ра­мид AKCM и BKCM.

б)  В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках MKL и CKL сто­ро­на KL  — общая и Зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки равны и Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки MBL и CBL равны по двум ка­те­там. Зна­чит, Пусть N  — се­ре­ди­на Тогда пря­мая MC пер­пен­ди­ку­ляр­на BN и LN, по­это­му ис­ко­мый угол между плос­ко­стя­ми равен углу В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BNL имеем Зна­чит,

Ответ:

Ре­ше­ние.

а)  Се­че­ние  — тре­уголь­ник LDE (см. рис.), найдём его сто­ро­ны.

По­сколь­ку сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку кроме этого тре­уголь­ник AED  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

Тре­уголь­ник ABM пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда

Тре­уголь­ник ALE пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тре­уголь­ни­ки ALE и ALD пря­мо­уголь­ные, AL  — их общий катет, Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равны их ги­по­те­ну­зы: Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник LDE  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Про­ведём в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке LDE вы­со­ту LH, она яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­это­му из тре­уголь­ни­ка LEH на­хо­дим:

Тем самым, тре­уголь­ник LDE  — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ: