СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Числа и их свойства

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д15 C7 № 507493

Наибольшее целое число, не превосходящее число x, равно Найдите все такие значения x.


Аналоги к заданию № 507493: 511434 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

2
Задания Д15 C7 № 507495

Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?


Аналоги к заданию № 507495: 507625 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

3
Задания Д15 C7 № 507501

Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению


Аналоги к заданию № 507501: 511436 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

4
Задания Д15 C7 № 507574

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 2m − 3n = 1.


Аналоги к заданию № 507574: 507579 511444 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

5
Задания Д15 C7 № 507579

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3n − 2m = 1.


6
Задания Д15 C7 № 507590

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

7
Задания Д15 C7 № 507609

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие системе:

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

8
Задания Д15 C7 № 507613

Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

9
Задания Д15 C7 № 507637

Решите в натуральных числах уравнение

Примечание.

Для натурального символом обозначается произведение


Аналоги к заданию № 507637: 507649 511455 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

10
Задания Д15 C7 № 507649

Решите в натуральных числах уравнение

Примечание.

Для натурального символом обозначается произведение


11
Задания Д15 C7 № 507679

Винтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же винтики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 винтика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее число винтиков может быть при таких условиях?

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

12
Задания Д15 C7 № 507820

Решите в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k2, где n! = 1·2·...·n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n.


Аналоги к заданию № 507820: 511497 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

13
Задания Д15 C7 № 507826

Решите в натуральных числах уравнение где


Аналоги к заданию № 507826: 511500 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

14
Задания Д15 C7 № 484659

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше Найдите наименьшее возможное значение

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

15
Задания Д15 C7 № 484660

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа В результате получается рациональное число. Найдите это число.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

16
Задания Д15 C7 № 484663

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел и


Аналоги к заданию № 484663: 484664 511321 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

17
Задания Д15 C7 № 484668

Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь можно сократить на b.


Аналоги к заданию № 484668: 484669 484670 511322 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

18
Задания Д15 C7 № 484673

Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.


Аналоги к заданию № 484673: 511323 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

19
Задания Д15 C7 № 484653

Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами и найдите такую, знаменатель которой минимален.


Аналоги к заданию № 484653: 511317 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

20
Задания Д15 C7 № 484655

Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и на


Аналоги к заданию № 484655: 511318 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

21
Задания Д15 C7 № 484656

Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?


Аналоги к заданию № 484656: 511319 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

22
Задания Д15 C7 № 484657

Произведение всех делителей натурального числа оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число ?

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

23
Задания Д15 C7 № 484658

Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.


Аналоги к заданию № 484658: 511320 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

24
Задания Д15 C7 № 484665

Найдите несократимую дробь такую, что

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

25
Задания Д15 C7 № 514945

Учитель в школе ставит отметки от 1 до 5. Средний балл ученика равен 4,625.

а) Какое наименьшее количество оценок может иметь ученик?

б) Если у ученика заменить оценки 3, 3, 5, 5 на две четвёрки, то на сколько максимально может увеличиться средний балл?

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

26
Задания Д15 C7 № 514946

По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.

а) Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.

б) Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

27
Задания Д15 C7 № 515654

Решите в целых числах уравнение

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть C).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

28
Задания Д15 C7 № 521913

В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каждой звездочки поставили знак сложения или вычитания (по своему усмотрению) и подсчитали результат.

а) Могло ли в результате вычисления получиться число 9?

б) Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?

в) В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каждой звездочки поставили знак умножения или деления (по своему усмотрению) и подсчитали результат. Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 237.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

29
Задания Д15 C7 № 527208

а) Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных делителей (включая единицу и само число n)?

б) Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.

в) Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных натуральных делителей?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 243.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

30
Задания Д15 C7 № 527223

На доске написано 19 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 11. Среднее арифметическое написанных на доске чисел равно 10. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные — умножили на 2. Пусть А — среднее арифметическое полученных чисел.

а) Могли ли оказаться так, что

б) Могли ли оказаться так, что

в) Найдите наибольшее возможное значение А.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 245.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

31
Задания Д15 C7 № 527243

Целые числа от 2 до 11 записаны в строчку в некотором порядке. Всегда ли можно вычеркнуть несколько чисел так, чтобы осталось:

а) три числа в порядке возрастания или в порядке убывания?

б) пять чисел в порядке возрастания или в порядке убывания?

в) четыре числа в порядке возрастания или в порядке убывания?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 246.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

32
Задания Д15 C7 № 527252

а) Можно ли в выражении вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «−», чтобы модуль этого выражения стал меньше

б) Можно ли в выражении вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «−», чтобы модуль этого выражения стал меньше

в) Какое наименьшее значение может принимать выражение если разными способами заменять каждый из знаков * заменять знаками «+» и «−»?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 247.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

33
Задания Д15 C7 № 527269

Из 26 последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, ... , 51 выбрали 11 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А — шестое по величине среди этих чисел, а В — среднее арифметическое выбранных одиннадцати чисел.

а) Может ли ВА равняться

б) Может ли ВА равняться

в) Найдите наибольшее возможное значение ВА.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 249.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

34
Задания Д15 C7 № 527290

Учащиеся 11 классов сдавали тесты по различным предметам. Каждый тест оценивается от 0 до 100 баллов. После получения результатов пятеро друзей решили сравнить полученные баллы. Каждый сдавал русский язык и профильную математику, четверо сдавали физику, трое сдавали информатику, двое сдавали обществознание. Общая сумма баллов по физике не больше 300, а по информатике — не меньше 220. Сумма баллов по обществознанию оказалась равна сумме двух лучших результатов по физике и информатике.

а) Мог ли один из друзей не сдать хотя бы один экзамен?

б) Могли ли двое не сдать какой‐то экзамен, если два участника написали обществознание на 78 и 87 баллов?

в) Какое наибольшее количество участников могли не сдать хотя бы один экзамен, если лучшая работа по физике оценена не более чем в 80 баллов, по информатике — не более 75 баллов, по обществознанию — не менее 90 баллов?

Указание. Тест считается несданным, если за него получено 0 баллов.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 278.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

35
Задания Д15 C7 № 527307

а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа и дают одинаковый остаток при делении на 100.

б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что и дают одинаковый остаток при делении на 100.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 250.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

36
Задания Д15 C7 № 527315

S(n) — сумма цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое двузначное число n, для которого выполняется условие

б) Существует ли такое двузначное число n, все цифры которого четны, для которого выполняется условие

в) Найдите количество трехзначных чисел n, все цифры которых нечетны, для которых выполняется условие

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 251.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

37
Задания Д15 C7 № 527322

На доске написаны числа 3 и 5. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой и (например, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно получить либо числа 5 и 9, либо числа 9 и 9).

а) Может ли получиться так, что после нескольких ходов на доске будут написаны числа 73 и 75?

б) Может ли получиться так, что после нескольких ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 35?

в) После 2017 ходов на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 252.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

38
Задания Д15 C7 № 527329

Дано натуральное четырехзначное число n, в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь f(n), в числителе которой само число n, а в знаменателе — произведение всех цифр числа n.

а) Приведите пример такого числа n, для которого

б) Существует ли такое n, что

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь f(n), если она равна несократимой дроби со знаменателем 160?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 253.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

39
Задания Д15 C7 № 527392

Имеется несколько камней, массы которых — различные натуральные числа.

а) Можно ли разложить 10 камней с массами 1, 2, 3, ..., 10 по шести кучкам так, чтобы вес каждой кучки не превосходил 10?

б) Можно ли разложить камни массами 370, 372, 374, ..., 468 на семь кучек так, чтобы вес каждой кучки не превосходил 3000?

в) Дополнительно известно, что общая сумма масс камней равна 4000, а масса каждой кучки, как и каждого камня, не превосходит 100. Какое минимальное количество таких кучек придется задействовать, чтобы гарантированно распределить данные камни?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 279.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

40
Задания Д15 C7 № 527639

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 300?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 17?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 17, может быть на доске?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 280.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

41
Задания Д15 C7 № 527713

Известно, что уравнение x3 − 3x2 + bx + 12 = 0 имеет три различных целых корня.

а) Могут ли все корни этого уравнения быть четными?

б) Найдите количество отрицательных корней.

в) Найдите все возможные значения коэффициента b.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 281.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

42
Задания Д15 C7 № 527852

На полке расставлен 12‐томник Марка Твена. Можно тома расставить так, что:

а) Сумма номеров любых двух подряд стоящих томов делилось бы на 3?

б) Сумма номеров любых трех подряд стоящих томов делилось бы на 3?

в) Сумма номеров любых четырех подряд стоящих томов делилась бы на 3?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 282.

Пройти тестирование по этим заданиям