ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 507574 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 2^m − 3ⁿ  =  1.

Решение.

При любом k число $3 в степени левая круглая скобка 2k правая круглая скобка плюс 1$ дает остаток 2, а число $3 в степени левая круглая скобка 2k минус 1 правая круглая скобка плюс 1$ − остаток 4 при делении на 8. Значит, $3 в степени n плюс 1=2 в степени m ,$ только если $m=1$ или $m=2$ (если $m\geqslant3,$ то $2 в степени m$ делится на 8 без остатка).

Если $m=1,$ то получаем уравнение $3 в степени n =1,$ решением которого является не натуральное число 0.

Если $m=2,$ то получаем уравнение $3 в степени n =3,$ которое имеет натуральное решение $n=1.$

Ответ: $m=2, n=1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $m=2, n=1.$

Аналоги к заданию № 507574: 507579 511444 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Тип Д18 C7 № 507579 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3ⁿ − 2^m  =  1.

Решение.

Пусть n  — четное число $n=2k.$ Тогда $2 в степени m =3 в степени левая круглая скобка 2k правая круглая скобка минус 1= левая круглая скобка 3 в степени k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени k плюс 1 правая круглая скобка .$ Правая часть  — произведение двух последовательных четных чисел, каждое из которых является степенью числа 2. Значит, $3 в степени k минус 1=2$ и $3 в степени k плюс 1=4,$ откуда $k=1,$ и $n=2.$ При этом $2 в степени m =8,$ следовательно, $m=3.$

Пусть теперь n  — нечетное число. Все нечетные степени тройки $левая круглая скобка 3, 27, 243, ... правая круглая скобка$ делятся на 4 с остатком 3. Значит, $3 в степени n минус 1$ делится на 4 с остатком 2. Из равенства $2 в степени m =3 в степени n минус 1$ получаем, что в этом случае $m=1$ (если $m больше или равно 2,$ то $2 в степени m$ делится на 4 без остатка). При этом $3 в степени n минус 1=2,$ откуда $n=1.$

Ответ: $m=3, n=2$ или $m=n=1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $m=3, n=2$ или $m=n=1.$

Аналоги к заданию № 507574: 507579 511444 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д18 C7 № 511444 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Найдите все пары натуральных чисел m и k, являющиеся решениями уравнения 9^k − 2^m  =  1.

Решение.

Заметим, что выражение на самом деле имеет вид 3^2k − 2^m  =  1.

Тогда $2 в степени m =3 в степени левая круглая скобка 2k правая круглая скобка минус 1= левая круглая скобка 3 в степени k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени k плюс 1 правая круглая скобка .$ Правая часть  — произведение двух последовательных четных чисел, каждое из которых является степенью числа 2. Значит, $3 в степени k минус 1=2$ и $3 в степени k плюс 1=4,$ откуда $k=1,$ При этом $2 в степени m =8,$ следовательно, $m=3.$

Ответ: $m=3, k=1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $m=3, k=1.$

Аналоги к заданию № 507574: 507579 511444 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе