ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 507501 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению $2 умножить на k!=m! минус 2 умножить на n!.$ Как обычно, $n!=1 умножить на 2 умножить на \ldots умножить на n правая круглая скобка .$

Решение.

Так как $m!=2 умножить на k! плюс 2 умножить на n!,$ то $n меньше m$ и $k меньше m.$ Возможны два случая.

1.  Если $n меньше k,$ тогда $4 умножить на k! больше 2 умножить на k! плюс 2 умножить на n!=m! больше или равно левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка умножить на k!,$ откуда $4 больше k плюс 1$ и $n меньше k меньше или равно 2.$ Полученному условию удовлетворят только $n=1,$ тогда $k=2,$ откуда $m!=2 умножить на k! плюс 2 умножить на n! = 2 плюс 4 = 6,$ а значит, $m=3.$

2.  Если $n больше или равно k,$ тогда $4 умножить на n! больше или равно 2 умножить на k! плюс 2 умножить на n!=m! больше или равно левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка умножить на n!,$ откуда $4 больше или равно n плюс 1$ и $k меньше или равно n меньше или равно 3.$ Далее перебором значений $1 меньше или равно n меньше или равно 3,1 меньше или равно k меньше или равно 3$ при условии $n больше или равно k$ ищем оставшиеся решения.

n	k	m! = 2k! + 2n!	m
3	3	24	4
3	2	16	нет решений
3	1	14	нет решений
2	2	8	нет решений
2	1	6	3
1	1	4	нет решений

Ответ: $k=1,n=2,m=3;k=n=3,m=4;k=2,n=1,m=3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ.	4
Ответ правилен, и конечность перебора обоснована. Однако, при переборе допущены арифметические ошибки или пробелы.	3
Ответ правилен и получен конечным перебором. Однако, конечность перебора не обоснована.	2
Приведён хотя бы один из правильных наборов, и проверено, что при подстановке в уравнение получается верное числовое неравенство.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $k=1,n=2,m=3;k=n=3,m=4;k=2,n=1,m=3.$

Аналоги к заданию № 507501: 511436 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д18 C7 № 511436 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению $3 умножить на k!=m! минус 3 умножить на n!$

Решение.

1.  Так как $m!=3 умножить на k! плюс 3 умножить на n!,$ то $n меньше m$ и $k меньше m.$

2.  Пусть $n больше или равно k,$ тогда $6 умножить на n! больше или равно 3 умножить на k! плюс 3 умножить на n!=m! больше или равно левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка умножить на n!,$ откуда $6 больше или равно n плюс 1$ и $k меньше или равно n меньше или равно 5.$

3.  Пусть $n меньше k,$ тогда $6 умножить на k! больше или равно 3 умножить на k! плюс 3 умножить на n!=m! больше или равно левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка умножить на k!,$ откуда $6 больше или равно k плюс 1$ и $n меньше или равно k меньше или равно 5.$

4.  Далее конечным перебором значений $1 меньше или равно n меньше или равно 5,1 меньше или равно k меньше или равно 5$ находим все решения:

Можно заметить, что это уравнение симметрично отн. значений n и k и мы можем перебрать меньше вариантов.

n	k	$m!=3 умножить на k! плюс 3 умножить на n!$	m
5	5	$720$	6
5	4	$432$	нет решений
5	3	$378$	нет решений
5	2	$366$	нет решений
5	1	$363$	нет решений
4	4	$144$	нет решений
4	3	$90$	нет решений
4	2	$78$	нет решений
4	1	$75$	нет решений
3	3	$36$	нет решений
3	2	$24$	4
3	1	$21$	нет решений
2	2	$12$	нет решений
2	1	$9$	нет решений
1	1	$6$	3

Ответ: $k=3,n=2,m=4; k=2,n=3,m=$
$=4;k=n=5 ,m=6;k=n=1,m=3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ.	4
Ответ правилен, и конечность перебора обоснована. Однако, при переборе допущены арифметические ошибки или пробелы.	3
Ответ правилен и получен конечным перебором. Однако, конечность перебора не обоснована.	2
Приведён хотя бы один из правильных наборов, и проверено, что при подстановке в уравнение получается верное числовое неравенство.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $k=3,n=2,m=4; k=2,n=3,m=$
$=4;k=n=5 ,m=6;k=n=1,m=3.$

Аналоги к заданию № 507501: 511436 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе