№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Числа и их свойства
1.

Наибольшее целое число, не превосходящее число x, равно Найдите все такие значения x.

2.

Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

3.

Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению

4.

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 2m − 3n = 1.

5.

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3n − 2m = 1.

6.

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

7.

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие системе:

8.

Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А.

9.

Решите в натуральных числах уравнение

Примечание.

Для натурального символом обозначается произведение

10.

Решите в натуральных числах уравнение

Примечание.

Для натурального символом обозначается произведение

11.

Винтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же винтики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 винтика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее число винтиков может быть при таких условиях?

12.

Решите в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k2, где n! = 1·2·...·n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

13.

Решите в натуральных числах уравнение где

14.

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше Найдите наименьшее возможное значение

15.

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа В результате получается рациональное число. Найдите это число.

16.

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел и

17.

Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь можно сократить на b.

18.

Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.

19.

Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами и найдите такую, знаменатель которой минимален.

20.

Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и на

21.

Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

22.

Произведение всех делителей натурального числа оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число ?

23.

Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.

24.

Найдите несократимую дробь такую, что

25.

Учитель в школе ставит отметки от 1 до 5. Средний балл ученика равен 4,625.

а) Какое наименьшее количество оценок может иметь ученик?

б) Если у ученика заменить оценки 3, 3, 5, 5 на две четвёрки, то на сколько максимально может увеличиться средний балл?

26.

По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.

а) Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.

б) Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

27.

Решите в целых числах уравнение

28.

В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каждой звездочки поставили знак сложения или вычитания (по своему усмотрению) и подсчитали результат.

а) Могло ли в результате вычисления получиться число 9?

б) Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?

в) В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каждой звездочки поставили знак умножения или деления (по своему усмотрению) и подсчитали результат. Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?

29.

а) Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных делителей (включая единицу и само число n)?

б) Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.

в) Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных натуральных делителей?

30.

На доске написано 19 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 11. Среднее арифметическое написанных на доске чисел равно 10. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные — умножили на 2. Пусть А — среднее арифметическое полученных чисел.

а) Могли ли оказаться так, что

б) Могли ли оказаться так, что

в) Найдите наибольшее возможное значение А.

31.

Целые числа от 2 до 11 записаны в строчку в некотором порядке. Всегда ли можно вычеркнуть несколько чисел так, чтобы осталось:

а) три числа в порядке возрастания или в порядке убывания?

б) пять чисел в порядке возрастания или в порядке убывания?

в) четыре числа в порядке возрастания или в порядке убывания?

32.

а) Можно ли в выражении вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «−», чтобы модуль этого выражения стал меньше

б) Можно ли в выражении вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «−», чтобы модуль этого выражения стал меньше

в) Какое наименьшее значение может принимать выражение если разными способами заменять каждый из знаков * заменять знаками «+» и «−»?

33.

Из 26 последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, ... , 51 выбрали 11 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А — шестое по величине среди этих чисел, а В — среднее арифметическое выбранных одиннадцати чисел.

а) Может ли ВА равняться

б) Может ли ВА равняться

в) Найдите наибольшее возможное значение ВА.

34.

Учащиеся 11 классов сдавали тесты по различным предметам. Каждый тест оценивается от 0 до 100 баллов. После получения результатов пятеро друзей решили сравнить полученные баллы. Каждый сдавал русский язык и профильную математику, четверо сдавали физику, трое сдавали информатику, двое сдавали обществознание. Общая сумма баллов по физике не больше 300, а по информатике — не меньше 220. Сумма баллов по обществознанию оказалась равна сумме двух лучших результатов по физике и информатике.

а) Мог ли один из друзей не сдать хотя бы один экзамен?

б) Могли ли двое не сдать какой‐то экзамен, если два участника написали обществознание на 78 и 87 баллов?

в) Какое наибольшее количество участников могли не сдать хотя бы один экзамен, если лучшая работа по физике оценена не более чем в 80 баллов, по информатике — не более 75 баллов, по обществознанию — не менее 90 баллов?

Указание. Тест считается несданным, если за него получено 0 баллов.

35.

а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа и дают одинаковый остаток при делении на 100.

б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что и дают одинаковый остаток при делении на 100.

36.

S(n) — сумма цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое двузначное число n, для которого выполняется условие

б) Существует ли такое двузначное число n, все цифры которого четны, для которого выполняется условие

в) Найдите количество трехзначных чисел n, все цифры которых нечетны, для которых выполняется условие

37.

На доске написаны числа 3 и 5. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой и (например, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно получить либо числа 5 и 9, либо числа 9 и 9).

а) Может ли получиться так, что после нескольких ходов на доске будут написаны числа 73 и 75?

б) Может ли получиться так, что после нескольких ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 35?

в) После 2017 ходов на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел?

38.

Дано натуральное четырехзначное число n, в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь f(n), в числителе которой само число n, а в знаменателе — произведение всех цифр числа n.

а) Приведите пример такого числа n, для которого

б) Существует ли такое n, что

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь f(n), если она равна несократимой дроби со знаменателем 160?

39.

Имеется несколько камней, массы которых — различные натуральные числа.

а) Можно ли разложить 10 камней с массами 1, 2, 3, ..., 10 по шести кучкам так, чтобы вес каждой кучки не превосходил 10?

б) Можно ли разложить камни массами 370, 372, 374, ..., 468 на семь кучек так, чтобы вес каждой кучки не превосходил 3000?

в) Дополнительно известно, что общая сумма масс камней равна 4000, а масса каждой кучки, как и каждого камня, не превосходит 100. Какое минимальное количество таких кучек придется задействовать, чтобы гарантированно распределить данные камни?

40.

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 300?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 17?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 17, может быть на доске?

41.

Известно, что уравнение x3 − 3x2 + bx + 12 = 0 имеет три различных целых корня.

а) Могут ли все корни этого уравнения быть четными?

б) Найдите количество отрицательных корней.

в) Найдите все возможные значения коэффициента b.

42.

На полке расставлен 12‐томник Марка Твена. Можно тома расставить так, что:

а) Сумма номеров любых двух подряд стоящих томов делилось бы на 3?

б) Сумма номеров любых трех подряд стоящих томов делилось бы на 3?

в) Сумма номеров любых четырех подряд стоящих томов делилась бы на 3?

43.

Сева каждый день заполняет таблицу 3 на 3 клетки числами 0, 2 или 4. При этом он рассчитывает день ото дня решать все более и более амбициозные задачи:

− Пн: добиться того, чтобы суммы чисел по строкам были различны;

− Вт: суммы чисел по строкам и хотя бы в одном из столбцов были различны;

− Ср: суммы чисел по строкам и хотя бы в двух столбцах были различны;

− Чт: суммы чисел по строкам и столбцам были различны;

− Пт: суммы чисел по строкам, столбцам и одной из главных диагоналей были различны;

− Сб: суммы чисел по строкам, столбцам и обеим главным диагоналям были различны.

а) Сможет ли Сева выполнить свой план на вторник, если хорошо постарается?

б) Сможет ли Сева выполнить свой план на субботу, если постарается пуще прежнего?

в) В какие дни Сева точно не сможет выполнить свой план?

44.

В 16‐битном регистре процессора 80286 каждый из 16 битов может принимать значения 0 и 1. Таким образом, число, записанное в регистр, представляет собой последовательность из 16 нулей и единиц.

а) Можно ли записать в регистр 30 различных чисел так, чтобы между любыми двумя единицами в записи числа было не менее 7 нулей?

б) Можно ли записать 30 чисел с тем же условием, что и в пункте а), если 5 младших битов регистра (то есть последних цифр в последовательности) неисправны и всегда равны нулю?

в) Сколько различных чисел с не менее чем 7 нулями между любыми двумя единицами можно записать в 16‐битный регистр (со всеми 16 битами)?

45.

Сева экспериментирует с таблицей 3 на 3 клетки. Его задача — разместить в ней монеты таким образом, чтобы во всех строках и столбцах таблицы количество монет было различным. Некоторые клетки могут остаться пустыми.

а) Есть ли шанс у Севы расположить в таблице 18 монет указанным способом?

б) А 6 монет указанным способом?

в) Какое наименьшее количество монет потребуется Севе для выполнения поставленной задачи?

46.

а) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное — 123?

б) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 7, а наименьшее общее кратное — 294?

в) Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 13, а наименьшее общее кратное — 78.