математика
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Каталог заданий.
Окружности и четырёхугольники

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 16 № 509582

Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.

б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.


Аналоги к заданию № 509582: 509929 Все


2
Задание 16 № 512338

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Найдите KN, если ∠LKN = 75° и LM = 1.


Аналоги к заданию № 512338: 512380 509204 510074 519904 519905 Все


3
Задание 16 № 512380

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Найдите KN, если ∠LKN = 75° и LM = 2.


4
Задание 16 № 513261

Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Известно, что CM = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

5
Задание 16 № 513267

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.


Аналоги к заданию № 513267: 514719 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Решение · ·

6
Задание 16 № 503002

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.

а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.

б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.


Аналоги к заданию № 503002: 503130 511381 Все


7
Задание 16 № 503130

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.

а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.

б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.

Решение · ·

8
Задание 16 № 513430

Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.

а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.

б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 3, а ∠LMN = 120°.


Аналоги к заданию № 513430: 513627 513449 514189 Все


9
Задание 16 № 513627

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если

Решение · ·

10
Задание 16 № 514097

Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.

а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.

б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2014

11
Задание 16 № 514372

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?


Аналоги к заданию № 514372: 519900 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015

12
Задание 16 № 514522

Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.

а) Докажите, что

б) Найдите отношение CK и KE, если


Аналоги к заданию № 514522: 514557 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 512 (C часть).

13
Задание 16 № 514718

Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

14
Задание 16 № 514719

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.


15
Задание 16 № 516403

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 3 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ — острый.

а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.


Аналоги к заданию № 516403: 516383 Все

Решение · ·

16
Задание 16 № 516763

Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.

а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.


Аналоги к заданию № 516763: 516782 Все

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).

17
Задание 16 № 517523

В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.

а) Докажите, что угол BАM равен углу CАD.

б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O.

Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

18
Задание 16 № 517758

В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь трапеции, если а основания равны 5 и 7.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 992 (C часть)., За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

19
Задание 16 № 518116

В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.

а) Докажите, что .

б) Найдите площадь треугольника AOM, если и .

Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 511 (C часть).

20
Задание 16 № 519661

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите BD.

Источник: ЕГЭ — 2018. До­сроч­ная волна. Резервный день 11.04.2018. Запад (часть С).

21
Задание 16 № 520498

Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.

б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.


Аналоги к заданию № 520498: 520518 520661 520702 520683 521997 522097 Все


22
Задание 16 № 520786

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 401 (C часть)., За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2018

23
Задание 16 № 520805

Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.

а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.

б) Найдите О1О2.


Аналоги к заданию № 520805: 520917 520855 520881 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 301 (C часть)., За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2018

24
Задание 16 № 520848

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса . Известно, что

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 402 (C часть)., За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2018

25
Задание 16 № 520917

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 11, KL = 10, LB = 4.


26
Задание 16 № 520940

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D.

а) Докажите, что AE = AK.

б) Найдите AD, если CE =10 , DK = 9 и


Аналоги к заданию № 520940: 520947 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 325 (C часть)., За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2018

Пройти тестирование по этим заданиям