СДАМ ГИА






Каталог заданий. Треугольники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д10 C4 № 505655

Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.

а) Докажите, что CD = BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.

2
Задания Д10 C4 № 505727

Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.

a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.

б) Найдите площадь треугольника BLK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 62.

3
Задания Д10 C4 № 505745

Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.

а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.

б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 65.

4
Задания Д10 C4 № 505757

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и CA отложены соответсвенно отрезки

а) Докажите, что где

б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.

5
Задания Д10 C4 № 505763

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.

а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и ABC.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.

6
Задания Д10 C4 № 505829

В треугольнике ABC известны стороны AB = 4, и BC = 5. На стороне AB взята точка D такая. что AD = 1.

а) Докажите, что CD и AB перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между центрами окружностей. описанных около треугольников BDC и ADC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.

7
Задания Д10 C4 № 505873

Дан треугольник АВС, в котором АС = СВ, а синус угла С равен 1. Треугольник ABD — равнобедренный, с боковой стороной равной 10. Найдите площадь треугольника АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.

8
Задания Д10 C4 № 505915

Найти высоту равнобедренного треугольника, проведенную его боковой стороне, равной 2, если синус одного его угла равен косинусу другого.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.

9
Задания Д10 C4 № 506011

Найти длины сторон AB и AC треугольника ABC, если BC = 8, а длины высот, проведенных к AC и BC, равны соответственно 6,4 и 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 28.

10
Задания Д10 C4 № 506065

В равнобедренном треугольнике ABC на прямой BC отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD. Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 37.

11
Задания Д10 C4 № 508124

В равнобедренном треугольнике ABC AC — основание. На продолжении стороны CB за точку В отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.

а) Докажите, что AB биссектриса угла CAD.

б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.

12
Задания Д10 C4 № 508151

В треугольнике АВС на сторое ВС выбрана точка К так, что СК : ВК = 1 : 2. Точка Е — середина стороны АВ. Отрезок СЕ и АК пересекаются в точке Р.

а) Докажите, что треугольники ВРС и АРС имеют равные площади.

б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 120.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.

13
Задания Д10 C4 № 508169

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота CH, медиана СМ и биссектриса СL.

а) Докажите, что СL является биссектрисой угла MCH.

б) Найдите длину биссектрисы СL, если СН = 3, СМ = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.

14
Задания Д10 C4 № 508596

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке О.

А) Докажите, что треугольники AOC и C1OA1 подобны.

Б) Найдите площадь четырехугольника ACA1C1, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101.

15
Задания Д10 C4 № 508614

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены биссектрисы АК, ВМ, СР.

а) Докажите, что треугольник КМР — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника КМР, если известно, что площадь треугольника АВС равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.

16
Задания Д10 C4 № 508621

Площадь треугольника АВС равна 72, а сумма длин сторон АС и ВС равна 24.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне АВ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.

17
Задания Д10 C4 № 508953

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.

А) Докажите, что углы ACB и MNB равны.

Б) Вычислите длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.

18
Задания Д10 C4 № 511212

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AB в точке K, а катетов — в точках P и M.

а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна AK · BK.

б) Найдите площадь треугольника PKM, если известно, что AK = 12, BK = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.

19
Задания Д10 C4 № 511219

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.

а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.

б) Найдите угол MCL.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.

20
Задания Д10 C4 № 511226

а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.

б) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CH. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.

21
Задания Д10 C4 № 511240

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен На гипотенузе AB взята точка H, а на катете AC — точка K. Известно, что прямая KH перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник ABC на две равновеликие части.

а) Докажите, что в четырехугольник KHBC можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что KH = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.

22
Задания Д10 C4 № 512426

Дан треугольник ABC. В нем проведены биссектрисы AM и BN, каждая из которых равна

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если его основание равно 132.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.

23
Задания Д10 C4 № 512433

Внутри равностороннего треугольника ABC в произвольном месте поставлена точка M.

а) Докажите, что сумма расстояний от точки M до сторон треугольника ABC равна высоте этого треугольника.

б) Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если расстояние от точки M до сторон AC и BC соответственно равны и а площадь треугольника ABC равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.

24
Задания Д10 C4 № 512440

Даны треугольники ABC и A1B1C1. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке C2. Прямые АС и AC1 пересекаются в точке B2. Прямые BC и B1C1 пересекаются в точке A2.

а) Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 и площади треугольника ABC, если высоты треугольника ABC равны а высоты треугольника A1B1C1 равны

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.

25
Задания Д10 C4 № 512447

Точка лежит на стороне ВС треугольника АВС.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.

26
Задания Д10 C4 № 512468

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка E. Окружности w1 и w2, вписанные в треугольники ABE и CBE, касаются прямой BE в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что

б) Определите, на сколько радиус окружности w2  больше радиуса окружности w1, если  известно,  что  AE = 9,  СЕ = 15, а радиус вписанной в  треугольник ABC окружности равен 4. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.

27
Задания Д10 C4 № 512651

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и 

CC1. Точки A2 и C2 симметричны середине стороны  AC относительно прямых BC и AB соответственно.  

а) Докажите, что отрезки A1A2 и C1С2 лежат на параллельных прямых.

б) Найдите расстояние между точками A2 и C2, если известно, что AB = 7, BC = 6, CA = 5.  

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.

28
Задания Д10 C4 № 513214

В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка E, при этом BE = 4, EA = 5, BC = 6. 

а) Докажите, что углы ВАС и BCE равны. 

б) Найдите площадь треугольника AEC, если известно, что угол ABC равен 30°. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.

29
Задания Д10 C4 № 505751

Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника ABK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 66.

30
Задания Д10 C4 № 506059

В треугольнике ABC на стороне AB расположена точка K так, что AK : KB = 3 : 5. На прямой AC взята точка E так, что AE = 2CE. Известно, что прямые BE и CK пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BOC равна 20.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.

31
Задания Д10 C4 № 508098

Через точку T внутри треугольника ABC проведены три прямые k, l и m так, что k || AB, l || BC, m || AC. Эти прямые образуют три треугольника, два из которых равны по площади.

а) Докажите, что квадрат суммы квадратных корней из площадей треугольников, образованных прямыми k, l и m со сторонами треугольника ABC, равен площади этого треугольника;

б) Найдите площадь меньшего треугольника, если известно, что площадь треугольника ABC равна 25, а площадь каждого из равных треугольников равна 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 83.

32
Задания Д10 C4 № 514570

Медиана AA1 и BB1 треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = AB.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AC = 4, BC = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 156.

33
Задания Д10 C4 № 514584

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1.

а) Докажите, что угол между биссектрисами AA1 и BB1 равен

б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если известно, что AC = 4, AB = 5, BC = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!