СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Треугольники

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д12 C4 № 505655

Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.

а) Докажите, что CD = BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.

2
Задания Д12 C4 № 505727

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 12. На пря­мой АС взята точка D так, что точка С яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка AD. Точка K — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, пря­мая KD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке L.

a) До­ка­жи­те, что BL : LC = 2 : 1.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BLK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 62.

3
Задания Д12 C4 № 505745

Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.

а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.

б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 65.

4
Задания Д12 C4 № 505757

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и CA отложены соответсвенно отрезки

а) Докажите, что где

б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.

5
Задания Д12 C4 № 505763

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.

а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и ABC.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.

6
Задания Д12 C4 № 505829

В треугольнике ABC известны стороны AB = 4, и BC = 5. На стороне AB взята точка D такая. что AD = 1.

а) Докажите, что CD и AB перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между центрами окружностей. описанных около треугольников BDC и ADC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.

7
Задания Д12 C4 № 505873

Дан тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром АС = СВ, а синус угла С равен 1. Тре­уголь­ник ABD — рав­но­бед­рен­ный, с бо­ко­вой сто­ро­ной рав­ной 10. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.

8
Задания Д12 C4 № 505915

Найти высоту равнобедренного треугольника, проведенную его боковой стороне, равной 2, если синус одного его угла равен косинусу другого.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.

9
Задания Д12 C4 № 506011

Найти длины сторон AB и AC треугольника ABC, если BC = 8, а длины высот, проведенных к AC и BC, равны соответственно 6,4 и 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 28.

10
Задания Д12 C4 № 506065

В равнобедренном треугольнике ABC на прямой BC отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD. Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 37.

11
Задания Д12 C4 № 508124

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC AC — ос­но­ва­ние. На про­дол­же­нии сто­ро­ны CB за точку В от­ме­че­на точка D так, что угол CAD равен углу ABD.

а) До­ка­жи­те, что AB бис­сек­три­са угла CAD.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка AD, если бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка АВС равна 5, а его ос­но­ва­ние равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.

12
Задания Д12 C4 № 508151

В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­рое ВС вы­бра­на точка К так, что СК : ВК = 1 : 2. Точка Е — се­ре­ди­на сто­ро­ны АВ. От­ре­зок СЕ и АК пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Р.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ВРС и АРС имеют рав­ные пло­ща­ди.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВР, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 120.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.

13
Задания Д12 C4 № 508169

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота CH, медиана СМ и биссектриса СL.

а) Докажите, что СL является биссектрисой угла MCH.

б) Найдите длину биссектрисы СL, если СН = 3, СМ = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.

14
Задания Д12 C4 № 508596

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке О.

А) Докажите, что треугольники AOC и C1OA1 подобны.

Б) Найдите площадь четырехугольника ACA1C1, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101.

15
Задания Д12 C4 № 508612

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC (AB = BC) про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AK, BM, CP.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KMP — рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KMP, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 64, а ко­си­нус угла ВАС равен 0,3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.

16
Задания Д12 C4 № 508614

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке АВС (АВ = ВС) про­ве­де­ны бис­сек­три­сы АК, ВМ, СР.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник КМР — рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка КМР, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 64, а ко­си­нус угла ВАС равен 0,3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.

17
Задания Д12 C4 № 508621

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 72, а сумма длин сто­рон АС и ВС равна 24.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, впи­сан­но­го в тре­уголь­ник АВС, если из­вест­но, что две вер­ши­ны этого квад­ра­та лежат на сто­ро­не АВ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.

18
Задания Д12 C4 № 508953

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AM и CN.

А) До­ка­жи­те, что углы ACB и MNB равны.

Б) Вы­чис­ли­те длину сто­ро­ны АС, если из­вест­но, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 25 см, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка BMN равен 15 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMN равен 3 см.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.

19
Задания Д12 C4 № 511212

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы AB в точке K, а ка­те­тов — в точ­ках P и M.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна AK · BK.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PKM, если из­вест­но, что AK = 12, BK = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.

20
Задания Д12 C4 № 511219

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.

а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.

б) Найдите угол MCL.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.

21
Задания Д12 C4 № 511226

а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.

б) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CH. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.

22
Задания Д12 C4 № 511240

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен На гипотенузе AB взята точка H, а на катете AC — точка K. Известно, что прямая KH перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник ABC на две равновеликие части.

а) Докажите, что в четырехугольник KHBC можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что KH = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.

23
Задания Д12 C4 № 512426

Дан треугольник ABC. В нем проведены биссектрисы AM и BN, каждая из которых равна

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если его основание равно 132.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.

24
Задания Д12 C4 № 512433

Внутри равностороннего треугольника ABC в произвольном месте поставлена точка M.

а) Докажите, что сумма расстояний от точки M до сторон треугольника ABC равна высоте этого треугольника.

б) Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если расстояние от точки M до сторон AC и BC соответственно равны и а площадь треугольника ABC равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.

25
Задания Д12 C4 № 512440

Даны треугольники ABC и A1B1C1. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке C2. Прямые АС и AC1 пересекаются в точке B2. Прямые BC и B1C1 пересекаются в точке A2.

а) Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 и площади треугольника ABC, если высоты треугольника ABC равны а высоты треугольника A1B1C1 равны

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.

26
Задания Д12 C4 № 512447

Точка лежит на стороне ВС треугольника АВС.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.

27
Задания Д12 C4 № 512468

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка E. Окружности w1 и w2, вписанные в треугольники ABE и CBE, касаются прямой BE в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что

б) Определите, на сколько радиус окружности w2  больше радиуса окружности w1, если  известно,  что  AE = 9,  СЕ = 15, а радиус вписанной в  треугольник ABC окружности равен 4. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.

28
Задания Д12 C4 № 512651

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и 

CC1. Точки A2 и C2 симметричны середине стороны  AC относительно прямых BC и AB соответственно.  

а) Докажите, что отрезки A1A2 и C1С2 лежат на параллельных прямых.

б) Найдите расстояние между точками A2 и C2, если известно, что AB = 7, BC = 6, CA = 5.  

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.

29
Задания Д12 C4 № 513214

В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка E, при этом BE = 4, EA = 5, BC = 6. 

а) Докажите, что углы ВАС и BCE равны. 

б) Найдите площадь треугольника AEC, если известно, что угол ABC равен 30°. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.

30
Задания Д12 C4 № 505751

Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника ABK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 66.

31
Задания Д12 C4 № 506059

В треугольнике ABC на стороне AB расположена точка K так, что AK : KB = 3 : 5. На прямой AC взята точка E так, что AE = 2CE. Известно, что прямые BE и CK пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BOC равна 20.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.

32
Задания Д12 C4 № 508098

Через точку T внутри треугольника ABC проведены три прямые k, l и m так, что k || AB, l || BC, m || AC. Эти прямые образуют три треугольника, два из которых равны по площади.

а) Докажите, что квадрат суммы квадратных корней из площадей треугольников, образованных прямыми k, l и m со сторонами треугольника ABC, равен площади этого треугольника;

б) Найдите площадь меньшего треугольника, если известно, что площадь треугольника ABC равна 25, а площадь каждого из равных треугольников равна 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 83.

33
Задания Д12 C4 № 514570

Медиана AA1 и BB1 треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = AB.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AC = 4, BC = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 156.

34
Задания Д12 C4 № 514584

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1.

а) Докажите, что угол между биссектрисами AA1 и BB1 равен

б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если известно, что AC = 4, AB = 5, BC = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.

35
Задания Д12 C4 № 514868

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.  

а) Докажите, что углы АКР и ABP равны.

б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB = 5, BC = 6, CA = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 161.

36
Задания Д12 C4 № 514875

Высота равнобедренной трапеции ABCD (BC и АD — основания) равна длине её средней линии. 

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. 

б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон ABBC и СD трапеции, если известно, что BC = 4, АD = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 162.

37
Задания Д12 C4 № 514882

Четырехугольник ABCD со взаимно перпендикулярными диагоналями АС и BD вписан в окружность.  

а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 163.

38
Задания Д12 C4 № 514889

К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В — точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.

а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.  

б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 164.

39
Задания Д12 C4 № 515108

В треугольнике АВС ВА = 8, ВС = 7, угол B равен 120°. Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М

а) Докажите, что АМ = ВС

б) Найдите  длину  отрезка  с  концами  на  сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 165.

40
Задания Д12 C4 № 515115

Точка К лежит на диаметре АВ окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от АВ, причем ∠OCK = ∠ODK.

а) Докажите, что ∠CKB = ∠DKA.

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, С, D, если известно, что ОК = 3,6, ВК = 9,6, ∠OCK = ∠ODK = 30°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 166.

41
Задания Д12 C4 № 515123

В  окружность  с  центром  в  точке О  вписан прямоугольный треугольник  АВС с гипотенузой  АВ.  На  большем  катете  ВС взята точка D так, что АС = ВD. Точка  Е — середина дуги АСВ.  

а) Докажите, что угол CED равен 90°.

б) Найдите площадь пятиугольника АОDEC, если известно, что АВ = 13, АС = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 167.

42
Задания Д12 C4 № 515130

Окружность ω с центром в точке О касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB  и  AC.  Вписанная  в  этот  треугольник  окружность с центром в точке Е  касается стороны BC в точке K.  

а) Докажите, что ВК = СМ.                                                              

б) Найдите площадь четырехугольника ОКЕМ, если известно, что АС = 5, ВС = 6, АВ = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 168.

43
Задания Д12 C4 № 515137

В неравнобедренном треугольнике ABC угол BAC равен 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность ω1 в точке Е.  Окружность  ω2,  описанная  около  треугольника  АDE,  пересекает  продолжение стороны АС в точке F.  

А) Докажите, что  DE — биссектриса угла FDB

Б) Найдите радиус окружности ω2, если известно, что АС = 6, АF = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 169.

44
Задания Д12 C4 № 515204

Дан квадрат АВСD. Точки КLM — середины сторон АВВС и СD соответственно. АL пересекает DK в точке РDL пересекает АМ в точке ТАМ пересекает DK в точке О

А) Докажите, что точки РL, TO лежат на одной окружности; 

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если АВ = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 170.

45
Задания Д12 C4 № 515211

На  диагонали  AC  параллелограмма  АВСD  отмечены  точки  Е  и  Р,  причем АЕ : ЕР : РС = 1 : 2 : 1.  Прямые    и    пересекают  стороны  АВ  и  ВС  в  точках  К  и  М соответственно.  

А) Докажите, что КМ параллельна АС

Б) Найдите  площадь  параллелограмма  АВСD,  если  известно,  что  площадь пятиугольника ВКЕРМ  равна 30.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 171.

46
Задания Д12 C4 № 521074

В прямоугольном треугольнике ABC известно, что . На гипотенузе AB  вне треугольника построен квадрат ABEF.  Прямая CE пересекает AB в точке O.

а) Докажите, что OA : OB = 3 : 4

б) Найдите  отношение площадей треугольников АOC и BOE.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 172.

47
Задания Д12 C4 № 521081

Хорда AB окружности параллельна касательной, проходящей через точку C, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку С и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке Р.

а) Докажите, что треугольник АВР равнобедренный.   

б) Найдите отношение, в котором хорда АВ делит диаметр  СР, если известно, что  .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 173.

48
Задания Д12 C4 № 521088

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС как на стороне построен квадрат вне треугольника.

а) Докажите, что прямая, соединяющая центр квадрата и центр вписанной в треугольник АВС окружности, проходит через точку С.

б) Найдите расстояние между центром квадрата и центром вписанной в треугольник АВС окружности, если известно, что .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 174.

49
Задания Д12 C4 № 521098

К окружности, вписанной в квадрат АВСD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и АD в точках М и Р соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.

б) Прямая МР пересекает прямую СD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 175.

50
Задания Д12 C4 № 521105

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М. Вторая окружность касается основания АС и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 176.

51
Задания Д12 C4 № 521113

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ.

а) Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, быть в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС?

б) Окружности, вписанные в треугольники АВМ и СВМ, касаются медианы ВМ в точках Р и К соответственно. Найдите расстояние между точками Р и К, если известно, что АВ = 17, ВС = 7, .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 177.

52
Задания Д12 C4 № 521134

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС отмечены точки и соответственно, причем . Прямые и пересекаются в точке О.

а) Докажите, чтo площадь треугольника BOC в десять раз больше площади треугольника .

б) Найдите площадь четырехугольника , если площадь треугольника равна 150°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 179.

53
Задания Д12 C4 № 521141

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка М, отличная от вершин, что МС = АС. Точка Р симметрична точке А относительно прямой ВС.

а) Докажите, что около четырехугольника ВМСР можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка МР, если известно, что АВ = 6, ВС = 5, СА = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 180.

54
Задания Д12 C4 № 521148

В треугольнике ABC стороны . Первая окружность вписана в треугольник АВС, а вторая касается AB и продолжения сторон BC и AC.

а) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно 2 : 1.

б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны AB, если АС = 15.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 181.

55
Задания Д12 C4 № 521162

В квадрате ABCD, со стороной равной а, точки P и Q — середины сторон AD и CD соответственно. Отрезки BP и AQ пересекаются в точке R.

а) Доказать, что около четырехугольников BCQR и DPRQ можно описать окружности.

б) Найти расстояние между центрами этих окружностей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 182.

56
Задания Д12 C4 № 521169

Окружность касается прямых АВ и ВС соответственно в точках D и Е. Точка А лежит между В и D, а тока С — между В и Е. Точки А, D, Е, С лежат на одной окружности.

а) Доказать, что треугольники АВС и DВЕ подобны.

б) Найти площадь ABC, если АС  =  8 и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 183.

57
Задания Д12 C4 № 521177

В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18,площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка РQ равна

а) Доказать, что треугольники QBP и СВА подобны.

б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 184.

58
Задания Д12 C4 № 521184

Две окружности пересекаются в точках А и В так, что их центры лежат по разные стороны от отрезка АВ. Через точку А проведены касательные к этим окружностям АС и АЕ (точка С лежит на первой окружности, а точка Е — на второй). Площадь четырехугольника АСВЕ в 5 раз больше площади треугольника АВС, BD — биссектриса угла АВЕ (точка D лежит на хорде АЕ).

а) Найти отношение длин отрезков АВ и ВС.

б) Найти значения чисел p и q, если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 185.

59
Задания Д12 C4 № 521191

Равнобедренные треугольники АВС (АВ  =  ВС) и KLM (KM =  LM) расположены так, что М — середина АС, В — середина KL, прямая KL параллельна прямой AC. Точки R — точка пересечения KM и АВ, Т — ВС и МL.

а) Доказать, что прямая RT параллельна прямой АС.

б) Найти площадь треугольника АВС, если и площадь четырехугольника BTMR равна 24.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 186.

60
Задания Д12 C4 № 521198

Отрезок АВ является диаметром окружности. Точки С и D окружности расположены по разные стороны от прямой АВ, длины хорд АС и BD равны 2 и 4 соответственно. Хорда CD пересекает АВ в точке Е, причем .

а) Доказать, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

б) Найти радиус окружности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 187.

61
Задания Д12 C4 № 521206

Прямоугольный треугольник АВС расположен относительно трех концентрических окружностей и радиусов 3, 5 и 6 так, что: 1) гипотенуза АВ является хордой и касается окружности ; 2) вершина С принадлежит окружности .

а) Найти площадь треугольника АВС.

б) Доказать, что центр окружностей и вершина С лежат по разные стороны от гипотенузы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 188.

62
Задания Д12 C4 № 521213

В правильный треугольник со стороной a вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.

а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.

б) Найдите сумму площадей всех кругов.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 189.

63
Задания Д12 C4 № 521220

Первая окружность вписана в треугольник АВС и касается ВС в точке М. Вторая окружность касается ВС в точке N и продолжений сторон АС и АВ.

а) Докажите, что длина МN равна модулю разности длин АВ и АС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что радиусы окружностей относятся как 1 : 3, ВС = 12, MN = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 190.

64
Задания Д12 C4 № 521227

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка Р — середина стороны AF, точка К — середина стороны АВ.

а) Докажите, что площади четырехугольников DPFE и DPAK равны.

б) Найдите площадь общей части четырехугольников DPAK и DЕAС, если известно, что АВ = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 191.

65
Задания Д12 C4 № 521235

Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К ответственно, причем  : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3:13.

а) Докажите, что углы РDK и РСК равны.

б) Пусть М — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 192.

66
Задания Д12 C4 № 521245

Окружности и с центрами в точках и соответственно касаются друг друга в точке А, при этом лежит на . АВ — диаметр . Хорда ВС первой окружности касается в точке Р. Прямая АР вторично пересекает в точке D.

а) Докажите, что АР = DP.

б) Найдите площадь четырехугольника АВDС, если известно, что АС = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 193.

67
Задания Д12 C4 № 521252

Точки М и Р — середины сторон ВС и АD выпуклого четырехугольника АВСD. Диагональ АС проходит через середину отрезка МР.

а) Докажите, что площади треугольников АВС и АСD равны.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, если известно, что АВ = 12, ВС = 10, а площадь четырехугольника АМСР равна 60.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 194.

68
Задания Д12 C4 № 521259

Окружность, вписанная в трапецию АВСD, касается боковых сторон АВ и СD в точках К и М.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции равна сумме квадратов длин боковых сторон трапеции.

б) Найдите площадь трапеции АВСD, если известно, что AK = 9, ВК = 4, СМ = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 195.

69
Задания Д12 C4 № 521266

Дан квадрат АВСD. На сторонах АВ и ВС внешним и внутренним образом соответственно построены равносторонние треугольники АВК и ВСР.

а) Докажите, что точка Р лежит на прямой .

б) Найдите площадь четырехугольника РКВС, если известно, что АВ = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 196.

70
Задания Д12 C4 № 521275

Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. Окружности и описаны около треугольников АОВ и ВОС соответственно. Пусть  — центр окружности , а O2 — центр окружности .

а) Докажите, что прямая касается окружности , а прямая касается окружности .

б) Найдите длину отрезка , если известно, что АВ = 6, ВС = 8.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 197.

71
Задания Д12 C4 № 521347

В прямоугольнике АВСD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК = 2СК.

 

а) Докажите, что ВD делит площадь треугольника АКС в отношении 3 : 7.

б) Пусть М — точка пересечения АК и BD, Р — точка пересечения DK и АС. Найдите длину

отрезка МР, если АВ = 8, ВС = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 202.

72
Задания Д12 C4 № 521660

Из середины D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен луч, перпендикулярный к гипотенузе и пересекающий катет АС. На нем отложен отрезок DE, длина которого равна половине отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов.

а) Докажите, что угол АСЕ равен 45 градусов

б) Найдите площадь треугольника АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 222.

73
Задания Д12 C4 № 521674

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен Окружность радиуса касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.

а) Докажите, что треугольник КТМ прямоугольный

б) Найдите тангенс угла АВС, если площадь треугольника АВС равна а наибольшей из его сторон является сторона АС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 224.

74
Задания Д12 C4 № 521681

Треугольник АВС (АВ < АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ = АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.

а) Докажите, что АК является биссектрисой угла ВАС.

б) Найдите площадь четырехугольника АВКЕ, если известно, что АВ = 5, АС = 11, ВС = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 225.

75
Задания Д12 C4 № 521688

В треугольнике АВС точка D есть середина АВ, точка Е лежит на стороне ВС,

причем Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке О.

а) Доказать, что

б) Найти длину стороны АВ, если АЕ = 5, ОС = 4, а угол АОС равен 120°

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 226.

76
Задания Д12 C4 № 521753

АК — биссектриса треугольника АВС, причем ВК:КС=2:7. Из точек В и К проведены параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно, причем AD:FC=3:14.

а) Докажите, что АВ в 2 раза больше AD.

б) Найдите площадь четырехугольника DBKF, если Р — точка пересечения BD и AK и площадь треугольника АВР равна 27.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 229.

77
Задания Д12 C4 № 521810

Сторона АВ треугольника АВС равна 3, ВС = 2АС, Е — точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, причем DE = 1.

а) Докажите, что AE || BC.

б) Найдите длину стороны АС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 233.

78
Задания Д12 C4 № 521817

Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке Р, а прямая ОР пересекает сторону АВ в точке К.

а) Докажите, что около четырехугольника ВDОК можно описать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если АВ = 10, АС = 8, ВС = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 234.

79
Задания Д12 C4 № 521831

В тупоугольном треугольнике АВС ( — тупой) на высоте ВН как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно.

а) Докажите, что

б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что ВА = 13, ВС = 8,

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 236.

80
Задания Д12 C4 № 526924

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK и на сторонах BA и BC взяты соответственно точки M и P так, что

а) Докажите, что прямая AC касается окружности, описанной около треугольника MBP.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MBP, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 198.

81
Задания Д12 C4 № 526931

На стороне AC треугольника ABC отметили точку D так, что

а) Докажите, что углы BAD и СВD равны.

б) Найдите отношение отрезков биссектрисы CL треугольника ABC, на которые ее делит прямая BD, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 199.

82
Задания Д12 C4 № 526938

В треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке K. На стороне AC отмечена точка P так, что

а) Докажите, что точки A, P, L, K лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырехугольника APLK, если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 200.

83
Задания Д12 C4 № 527196

Точка M пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K — середина стороны BC.

б) Найдите длину AK, если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 242.

84
Задания Д12 C4 № 527205

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC и BC в точках и соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника

А) Докажите, что  — биссектриса угла

Б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 243.

85
Задания Д12 C4 № 527212

Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC (угол С = 90°). Окружность радиуса проходит через точки А, С, D и пересекает сторону AB в точке E так, что Отрезки СЕ и AD пересекаются в точке О.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 244.

86
Задания Д12 C4 № 527220

Биссектриса AD и высота BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает сторону AB в точке K так, что

а) Докажите, что AD делит площадь треугольника ABC в соотношении

б) Найдите длину стороны BC, если радиус окружности

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 245.

87
Задания Д12 C4 № 527240

В треугольнике ABC, где проведена медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке M. Через M проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках P и Q соответственно.

а) Найдите PM.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник PQB.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 246.

88
Задания Д12 C4 № 527249

В треугольнике ABC угол C тупой, а точка D выбрана на продолжении AB за точку B так, что Точка D' симметрична точке D относительно прямой BC, точка D'' симметрична точке D’ относительно прямой AC и лежит на прямой BC. Известно, что

а) Докажите, что треугольник CBD — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 247.

89
Задания Д12 C4 № 527259

Продолжения медиан AM и BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причем

а) Докажите, что прямая AB параллельна прямой CE.

б) Найти углы треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 248.

90
Задания Д12 C4 № 527266

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC расположены точки E и D соответственно так, что AD — биссектриса треугольника ABC, DE — биссектриса треугольника ABD,

а) Найдите AC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 249.

91
Задания Д12 C4 № 527304

В окружности с центром в точке О радиуса 4 проведены хорда AB и диаметр AK, образующий с хордой угол В точке B проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке С.

а) Докажите, что треугольник OBC — равнобедренный

б) Найдите длину медианы AM треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 250.

92
Задания Д12 C4 № 527326

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Окружность с центром в точке O проходит через вершину A, касается стороны BC в точке K и пересекает сторону AC в точке M такой, что

а) Найдите отношение

б) Найдите длину стороны AB, если радиус окружности равен 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 253.

93
Задания Д12 C4 № 527445

На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону KL в точке P. На стороне KM взята точка R так, что отрезок LR пересекает окружность в точке Q, причем отрезки QP и ML параллельны, и

а) Найдите отношение

б) Найти MQ.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 261.

94
Задания Д12 C4 № 527460

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке P. Точка О — середина АР.

а) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 263.

95
Задания Д12 C4 № 527490

В треугольнике ABC длина AB равна 3, хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.

а) Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины C.

б) Найдите площадь треугольника KNC.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 264.

Пройти тестирование по этим заданиям