№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Треугольники
1.

Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.

а) Докажите, что CD = BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

2.

Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.

a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.

б) Найдите площадь треугольника BLK.

3.

Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.

а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.

б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.

4.

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и CA отложены соответсвенно отрезки

а) Докажите, что где

б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.

5.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.

а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и ABC.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

6.

В треугольнике ABC известны стороны AB = 4, и BC = 5. На стороне AB взята точка D такая. что AD = 1.

а) Докажите, что CD и AB перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между центрами окружностей. описанных около треугольников BDC и ADC.

7.

Дан треугольник АВС, в котором АС = СВ, а синус угла С равен 1. Треугольник ABD — равнобедренный, с боковой стороной равной 10. Найдите площадь треугольника АВС.

8.

Найти высоту равнобедренного треугольника, проведенную его боковой стороне, равной 2, если синус одного его угла равен косинусу другого.

9.

Найти длины сторон AB и AC треугольника ABC, если BC = 8, а длины высот, проведенных к AC и BC, равны соответственно 6,4 и 4.

10.

В равнобедренном треугольнике ABC на прямой BC отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD. Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6.

11.

В равнобедренном треугольнике ABC AC — основание. На продолжении стороны CB за точку В отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.

а) Докажите, что AB биссектриса угла CAD.

б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

12.

В треугольнике АВС на сторое ВС выбрана точка К так, что СК : ВК = 1 : 2. Точка Е — середина стороны АВ. Отрезок СЕ и АК пересекаются в точке Р.

а) Докажите, что треугольники ВРС и АРС имеют равные площади.

б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 120.

13.

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота CH, медиана СМ и биссектриса СL.

а) Докажите, что СL является биссектрисой угла MCH.

б) Найдите длину биссектрисы СL, если СН = 3, СМ = 5.

14.

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке О.

А) Докажите, что треугольники AOC и C1OA1 подобны.

Б) Найдите площадь четырехугольника ACA1C1, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.

15.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

16.

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены биссектрисы АК, ВМ, СР.

а) Докажите, что треугольник КМР — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника КМР, если известно, что площадь треугольника АВС равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

17.

Площадь треугольника АВС равна 72, а сумма длин сторон АС и ВС равна 24.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне АВ.

18.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.

А) Докажите, что углы ACB и MNB равны.

Б) Вычислите длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.

19.

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AB в точке K, а катетов — в точках P и M.

а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна AK · BK.

б) Найдите площадь треугольника PKM, если известно, что AK = 12, BK = 5.

20.

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.

а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.

б) Найдите угол MCL.

21.

а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.

б) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CH. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH, если известно, что

22.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен На гипотенузе AB взята точка H, а на катете AC — точка K. Известно, что прямая KH перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник ABC на две равновеликие части.

а) Докажите, что в четырехугольник KHBC можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что KH = 1.

23.

Дан треугольник ABC. В нем проведены биссектрисы AM и BN, каждая из которых равна

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если его основание равно 132.

24.

Внутри равностороннего треугольника ABC в произвольном месте поставлена точка M.

а) Докажите, что сумма расстояний от точки M до сторон треугольника ABC равна высоте этого треугольника.

б) Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если расстояние от точки M до сторон AC и BC соответственно равны и а площадь треугольника ABC равна

25.

Даны треугольники ABC и A1B1C1. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке C2. Прямые АС и AC1 пересекаются в точке B2. Прямые BC и B1C1 пересекаются в точке A2.

а) Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 и площади треугольника ABC, если высоты треугольника ABC равны а высоты треугольника A1B1C1 равны

26.

Точка лежит на стороне ВС треугольника АВС.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что

27.

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка E. Окружности w1 и w2, вписанные в треугольники ABE и CBE, касаются прямой BE в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что

б) Определите, на сколько радиус окружности w2  больше радиуса окружности w1, если  известно,  что  AE = 9,  СЕ = 15, а радиус вписанной в  треугольник ABC окружности равен 4. 

28.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и 

CC1. Точки A2 и C2 симметричны середине стороны  AC относительно прямых BC и AB соответственно.  

а) Докажите, что отрезки A1A2 и C1С2 лежат на параллельных прямых.

б) Найдите расстояние между точками A2 и C2, если известно, что AB = 7, BC = 6, CA = 5.  

29.

В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка E, при этом BE = 4, EA = 5, BC = 6. 

а) Докажите, что углы ВАС и BCE равны. 

б) Найдите площадь треугольника AEC, если известно, что угол ABC равен 30°. 

30.

Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника ABK.

31.

В треугольнике ABC на стороне AB расположена точка K так, что AK : KB = 3 : 5. На прямой AC взята точка E так, что AE = 2CE. Известно, что прямые BE и CK пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BOC равна 20.

32.

Через точку T внутри треугольника ABC проведены три прямые k, l и m так, что k || AB, l || BC, m || AC. Эти прямые образуют три треугольника, два из которых равны по площади.

а) Докажите, что квадрат суммы квадратных корней из площадей треугольников, образованных прямыми k, l и m со сторонами треугольника ABC, равен площади этого треугольника;

б) Найдите площадь меньшего треугольника, если известно, что площадь треугольника ABC равна 25, а площадь каждого из равных треугольников равна 4.

33.

Медиана AA1 и BB1 треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = AB.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AC = 4, BC = 3.

34.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1.

а) Докажите, что угол между биссектрисами AA1 и BB1 равен

б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если известно, что AC = 4, AB = 5, BC = 6.

35.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.  

а) Докажите, что углы АКР и ABP равны.

б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB = 5, BC = 6, CA = 4.

36.

Высота равнобедренной трапеции ABCD (BC и АD — основания) равна длине её средней линии. 

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. 

б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон ABBC и СD трапеции, если известно, что BC = 4, АD = 6.

37.

Четырехугольник ABCD со взаимно перпендикулярными диагоналями АС и BD вписан в окружность.  

а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что

38.

К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В — точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.

а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.  

б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.

39.

В треугольнике АВС ВА = 8, ВС = 7, угол B равен 120°. Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М

а) Докажите, что АМ = ВС

б) Найдите  длину  отрезка  с  концами  на  сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.

40.

Точка К лежит на диаметре АВ окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от АВ, причем ∠OCK = ∠ODK.

а) Докажите, что ∠CKB = ∠DKA.

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, С, D, если известно, что ОК = 3,6, ВК = 9,6, ∠OCK = ∠ODK = 30°.

41.

В  окружность  с  центром  в  точке О  вписан прямоугольный треугольник  АВС с гипотенузой  АВ.  На  большем  катете  ВС взята точка D так, что АС = ВD. Точка  Е — середина дуги АСВ.  

а) Докажите, что угол CED равен 90°.

б) Найдите площадь пятиугольника АОDEC, если известно, что АВ = 13, АС = 5.

42.

Окружность ω с центром в точке О касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB  и  AC.  Вписанная  в  этот  треугольник  окружность с центром в точке Е  касается стороны BC в точке K.  

а) Докажите, что ВК = СМ.                                                              

б) Найдите площадь четырехугольника ОКЕМ, если известно, что АС = 5, ВС = 6, АВ = 4.

43.

В неравнобедренном треугольнике ABC угол BAC равен 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность ω1 в точке Е.  Окружность  ω2,  описанная  около  треугольника  АDE,  пересекает  продолжение стороны АС в точке F.  

А) Докажите, что  DE — биссектриса угла FDB

Б) Найдите радиус окружности ω2, если известно, что АС = 6, АF = 2.

44.

Дан квадрат АВСD. Точки КLM — середины сторон АВВС и СD соответственно. АL пересекает DK в точке РDL пересекает АМ в точке ТАМ пересекает DK в точке О

А) Докажите, что точки РL, TO лежат на одной окружности; 

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если АВ = 4.

45.

На  диагонали  AC  параллелограмма  АВСD  отмечены  точки  Е  и  Р,  причем АЕ : ЕР : РС = 1 : 2 : 1.  Прямые    и    пересекают  стороны  АВ  и  ВС  в  точках  К  и  М соответственно.  

А) Докажите, что КМ параллельна АС

Б) Найдите  площадь  параллелограмма  АВСD,  если  известно,  что  площадь пятиугольника ВКЕРМ  равна 30.

46.

В прямоугольном треугольнике ABC известно, что . На гипотенузе AB  вне треугольника построен квадрат ABEF.  Прямая CE пересекает AB в точке O.

а) Докажите, что OA : OB = 3 : 4

б) Найдите  отношение площадей треугольников АOC и BOE.

47.

Хорда AB окружности параллельна касательной, проходящей через точку C, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку С и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке Р.

а) Докажите, что треугольник АВР равнобедренный.   

б) Найдите отношение, в котором хорда АВ делит диаметр  СР, если известно, что  .

48.

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС как на стороне построен квадрат вне треугольника.

а) Докажите, что прямая, соединяющая центр квадрата и центр вписанной в треугольник АВС окружности, проходит через точку С.

б) Найдите расстояние между центром квадрата и центром вписанной в треугольник АВС окружности, если известно, что .

49.

К окружности, вписанной в квадрат АВСD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и АD в точках М и Р соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.

б) Прямая МР пересекает прямую СD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение если

50.

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М. Вторая окружность касается основания АС и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а .

51.

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ.

а) Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, быть в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС?

б) Окружности, вписанные в треугольники АВМ и СВМ, касаются медианы ВМ в точках Р и К соответственно. Найдите расстояние между точками Р и К, если известно, что АВ = 17, ВС = 7, .

52.

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС отмечены точки и соответственно, причем . Прямые и пересекаются в точке О.

а) Докажите, чтo площадь треугольника BOC в десять раз больше площади треугольника .

б) Найдите площадь четырехугольника , если площадь треугольника равна 150°.

53.

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка М, отличная от вершин, что МС = АС. Точка Р симметрична точке А относительно прямой ВС.

а) Докажите, что около четырехугольника ВМСР можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка МР, если известно, что АВ = 6, ВС = 5, СА = 3.

54.

В треугольнике ABC стороны . Первая окружность вписана в треугольник АВС, а вторая касается AB и продолжения сторон BC и AC.

а) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно 2 : 1.

б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны AB, если АС = 15.

55.

В квадрате ABCD, со стороной равной а, точки P и Q — середины сторон AD и CD соответственно. Отрезки BP и AQ пересекаются в точке R.

а) Доказать, что около четырехугольников BCQR и DPRQ можно описать окружности.

б) Найти расстояние между центрами этих окружностей.

56.

Окружность касается прямых АВ и ВС соответственно в точках D и Е. Точка А лежит между В и D, а тока С — между В и Е. Точки А, D, Е, С лежат на одной окружности.

а) Доказать, что треугольники АВС и DВЕ подобны.

б) Найти площадь ABC, если АС  =  8 и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 1.

57.

В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18,площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка РQ равна

а) Доказать, что треугольники QBP и СВА подобны.

б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

58.

Две окружности пересекаются в точках А и В так, что их центры лежат по разные стороны от отрезка АВ. Через точку А проведены касательные к этим окружностям АС и АЕ (точка С лежит на первой окружности, а точка Е — на второй). Площадь четырехугольника АСВЕ в 5 раз больше площади треугольника АВС, BD — биссектриса угла АВЕ (точка D лежит на хорде АЕ).

а) Найти отношение длин отрезков АВ и ВС.

б) Найти значения чисел p и q, если

59.

Равнобедренные треугольники АВС (АВ  =  ВС) и KLM (KM =  LM) расположены так, что М — середина АС, В — середина KL, прямая KL параллельна прямой AC. Точки R — точка пересечения KM и АВ, Т — ВС и МL.

а) Доказать, что прямая RT параллельна прямой АС.

б) Найти площадь треугольника АВС, если и площадь четырехугольника BTMR равна 24.

60.

Отрезок АВ является диаметром окружности. Точки С и D окружности расположены по разные стороны от прямой АВ, длины хорд АС и BD равны 2 и 4 соответственно. Хорда CD пересекает АВ в точке Е, причем .

а) Доказать, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

б) Найти радиус окружности.

61.

Прямоугольный треугольник АВС расположен относительно трех концентрических окружностей и радиусов 3, 5 и 6 так, что: 1) гипотенуза АВ является хордой и касается окружности ; 2) вершина С принадлежит окружности .

а) Найти площадь треугольника АВС.

б) Доказать, что центр окружностей и вершина С лежат по разные стороны от гипотенузы.

62.

В правильный треугольник со стороной a вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.

а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.

б) Найдите сумму площадей всех кругов.

63.

Первая окружность вписана в треугольник АВС и касается ВС в точке М. Вторая окружность касается ВС в точке N и продолжений сторон АС и АВ.

а) Докажите, что длина МN равна модулю разности длин АВ и АС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что радиусы окружностей относятся как 1 : 3, ВС = 12, MN = 4.

64.

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка Р — середина стороны AF, точка К — середина стороны АВ.

а) Докажите, что площади четырехугольников DPFE и DPAK равны.

б) Найдите площадь общей части четырехугольников DPAK и DЕAС, если известно, что АВ = 6.

65.

Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К ответственно, причем  : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3:13.

а) Докажите, что углы РDK и РСК равны.

б) Пусть М — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM.

66.

Окружности и с центрами в точках и соответственно касаются друг друга в точке А, при этом лежит на . АВ — диаметр . Хорда ВС первой окружности касается в точке Р. Прямая АР вторично пересекает в точке D.

а) Докажите, что АР = DP.

б) Найдите площадь четырехугольника АВDС, если известно, что АС = 4.

67.

Точки М и Р — середины сторон ВС и АD выпуклого четырехугольника АВСD. Диагональ АС проходит через середину отрезка МР.

а) Докажите, что площади треугольников АВС и АСD равны.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, если известно, что АВ = 12, ВС = 10, а площадь четырехугольника АМСР равна 60.

68.

Окружность, вписанная в трапецию АВСD, касается боковых сторон АВ и СD в точках К и М.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции равна сумме квадратов длин боковых сторон трапеции.

б) Найдите площадь трапеции АВСD, если известно, что AK = 9, ВК = 4, СМ = 1.

69.

Дан квадрат АВСD. На сторонах АВ и ВС внешним и внутренним образом соответственно построены равносторонние треугольники АВК и ВСР.

а) Докажите, что точка Р лежит на прямой .

б) Найдите площадь четырехугольника РКВС, если известно, что АВ = 2.

70.

Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. Окружности и описаны около треугольников АОВ и ВОС соответственно. Пусть  — центр окружности , а O2 — центр окружности .

а) Докажите, что прямая касается окружности , а прямая касается окружности .

б) Найдите длину отрезка , если известно, что АВ = 6, ВС = 8.

71.

В прямоугольнике АВСD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК = 2СК.

 

а) Докажите, что ВD делит площадь треугольника АКС в отношении 3 : 7.

б) Пусть М — точка пересечения АК и BD, Р — точка пересечения DK и АС. Найдите длину

отрезка МР, если АВ = 8, ВС = 6.

72.

Из середины D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен луч, перпендикулярный к гипотенузе и пересекающий катет АС. На нем отложен отрезок DE, длина которого равна половине отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов.

а) Докажите, что угол АСЕ равен 45 градусов

б) Найдите площадь треугольника АВС.

73.

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен Окружность радиуса касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.

а) Докажите, что треугольник КТМ прямоугольный

б) Найдите тангенс угла АВС, если площадь треугольника АВС равна а наибольшей из его сторон является сторона АС.

74.

Треугольник АВС (АВ < АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ = АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.

а) Докажите, что АК является биссектрисой угла ВАС.

б) Найдите площадь четырехугольника АВКЕ, если известно, что АВ = 5, АС = 11, ВС = 10.

75.

В треугольнике АВС точка D есть середина АВ, точка Е лежит на стороне ВС,

причем Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке О.

а) Доказать, что

б) Найти длину стороны АВ, если АЕ = 5, ОС = 4, а угол АОС равен 120°

76.

АК — биссектриса треугольника АВС, причем ВК:КС=2:7. Из точек В и К проведены параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно, причем AD:FC=3:14.

а) Докажите, что АВ в 2 раза больше AD.

б) Найдите площадь четырехугольника DBKF, если Р — точка пересечения BD и AK и площадь треугольника АВР равна 27.

77.

Сторона АВ треугольника АВС равна 3, ВС = 2АС, Е — точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, причем DE = 1.

а) Докажите, что AE || BC.

б) Найдите длину стороны АС.

78.

Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке Р, а прямая ОР пересекает сторону АВ в точке К.

а) Докажите, что около четырехугольника ВDОК можно описать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если АВ = 10, АС = 8, ВС = 6.

79.

В тупоугольном треугольнике АВС ( — тупой) на высоте ВН как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно.

а) Докажите, что

б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что ВА = 13, ВС = 8,

80.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK и на сторонах BA и BC взяты соответственно точки M и P так, что

а) Докажите, что прямая AC касается окружности, описанной около треугольника MBP.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MBP, если известно, что

81.

На стороне AC треугольника ABC отметили точку D так, что

а) Докажите, что углы BAD и СВD равны.

б) Найдите отношение отрезков биссектрисы CL треугольника ABC, на которые ее делит прямая BD, если известно, что

82.

В треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке K. На стороне AC отмечена точка P так, что

а) Докажите, что точки A, P, L, K лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырехугольника APLK, если

83.

На диагонали LN параллелограмма KLMN отмены точки P и Q, причем

а) Докажите, что прямые KP и KQ проходят через середины сторон параллелограмма.

б) Найдите отношение площади параллелограмма KLMN к площади пятиугольника MRPQS, где R — точка пересечения KP со стороной LM, S — точка пересечения KQ с MN.

84.

Точка M пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K — середина стороны BC.

б) Найдите длину AK, если

85.

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC и BC в точках и соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника

А) Докажите, что  — биссектриса угла

Б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник если известно, что

86.

Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC (угол С = 90°). Окружность радиуса проходит через точки А, С, D и пересекает сторону AB в точке E так, что Отрезки СЕ и AD пересекаются в точке О.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника ABC.

87.

Биссектриса AD и высота BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает сторону AB в точке K так, что

а) Докажите, что AD делит площадь треугольника ABC в соотношении

б) Найдите длину стороны BC, если радиус окружности

88.

В треугольнике ABC, где проведена медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке M. Через M проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках P и Q соответственно.

а) Найдите PM.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник PQB.

89.

В треугольнике ABC угол C тупой, а точка D выбрана на продолжении AB за точку B так, что Точка D' симметрична точке D относительно прямой BC, точка D'' симметрична точке D’ относительно прямой AC и лежит на прямой BC. Известно, что

а) Докажите, что треугольник CBD — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

90.

Продолжения медиан AM и BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причем

а) Докажите, что прямая AB параллельна прямой CE.

б) Найти углы треугольника ABC.

91.

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­нах AB и BC рас­по­ло­же­ны точки E и D со­от­вет­ствен­но так, что AD — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABC, DE — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABD,

а) Най­ди­те AC.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

92.

В окружности с центром в точке О радиуса 4 проведены хорда AB и диаметр AK, образующий с хордой угол В точке B проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке С.

а) Докажите, что треугольник OBC — равнобедренный

б) Найдите длину медианы AM треугольника ABC.

93.

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Окружность с центром в точке O проходит через вершину A, касается стороны BC в точке K и пересекает сторону AC в точке M такой, что

а) Найдите отношение

б) Найдите длину стороны AB, если радиус окружности равен 2.

94.

Четырехугольник, один из углов которого равен вписан в окружность радиуса и описан около окружности радиуса 3.

а) Найдите площадь четырехугольника.

б) Найдите угол между диагоналями четырехугольника.

95.

Дан треугольник ABC, в котором медиана На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что Через точку F проведена прямая l, параллельная BC.

а) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC до прямой l.

б) Найдите, в каком отношении прямая l делит площадь треугольника ABC.

96.

В прямоугольном треугольнике ABC из точки E, расположенной в середине катета BC, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB,

а) Найдите углы треугольника ABC.

б) Найдите отношение

97.

На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону KL в точке P. На стороне KM взята точка R так, что отрезок LR пересекает окружность в точке Q, причем отрезки QP и ML параллельны, и

а) Найдите отношение

б) Найти MQ.

98.

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке P. Точка О — середина АР.

а) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что

99.

В треугольнике ABC длина AB равна 3, хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.

а) Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины C.

б) Найдите площадь треугольника KNC.

100.

В окружность с центром О вписан треугольник ABC Продолжение биссектрисы AF угла A этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус AO пересекает сторону BC в точке E. Пусть AH — высота треугольника ABC. Известно, что

а) Докажите, что AF — биссектриса угла EAH.

б) Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL.

101.

Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть E — точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC в точке P, а большее основание AD — в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем

а) Докажите, что прямая EQ точками пересечения делит основания трапеции пополам.

б) Найдите площадь треугольника EPF.

102.

Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиуса 5 проходит через вершину K, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A. Известно, что

а) Найдите угол K треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM.

103.

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а) Докажите, что

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если

104.

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH — высота этого треугольника.

а) Докажите, что углы ABH и CBO равны.

б) Найдите BH, если

105.

Окружность радиуса касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и P и пересекает строну AB в точках M и N (точка N между точками B и M). Известно, что MP и AC параллельны,

а) Найдите угол BCA.

б) Найдите площадь треугольника BKN.

106.

В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, На катете BC взята точка K такая, что

а) Докажите, что угол KMC прямой.

б) Пусть N — вторая (помимо M) точка пересечения прямой СМ и описанной окружности треугольника BMK. Найдите угол АNВ.

107.

В тра­пе­ции ABCD от­но­ше­ние ос­но­ва­ний AD : BC = 5 : 2. Точка M лежит на AB, пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 20.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка MCD не пре­вос­хо­дит 15.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние AM : MB, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка МСD равна 9.