PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1 = 30°.
Решение. Точки O1, O2 и A лежат на одной прямой. Поскольку треугольники BO1A и CO2A равнобедренные, ∠ABO1 = ∠BAO1 = ∠CAO2 = ∠ACО2 = 30°, откуда
Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка B лежит между точками A и C, откуда BC = AC − AB = 2cos30°.
Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка A лежит между точками B и C, откуда BC = AC + AB = 10cos30°.
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.
Решение. Пусть a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a ≥ r + R. Если общая внутренняя касательная касается окружностей в точках C и D, то
Действительно, пусть O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точки O2 опустим перпендикуляр O2F на прямую O1C. Из прямоугольного треугольника O1FO2 находим, что
Пусть x — радиус искомой окружности, O3 — её центр. Заметим, что прямая CD — либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O3 и O2 (см. рис.), либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O3 и O1 (см. рис.). В первом них этих случаев искомая окружность касается прямой CD в точке C, во втором — в точке D.
По доказанному 
В первом случае CD — общая внешняя касательная к окружности с центрами O3 и O2, поэтому 
значит, 
откуда 
Во втором случае CD — общая внешняя касательная к окружностям с центрами O3 и O1, поэтому 
откуда 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или На стороне прямого угла с вершиной A взята точка O, причём AO = 7. С центром в точке O проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.
Решение. Пусть Q — центр искомой окружности радиуса R, B — точка касания этой окружности со стороной AO, C — точка касания окружностей. Центр окружности, вписанной в угол лежит на биссектрисе угла, значит, ∠BAQ = 45°. Тогда AB = QB = R. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OQ = OC + CQ = 1 + R.
Рассмотрим случай, когда точка B лежит между A и O. (см. рис.). Тогда R < 7. По теореме Пифагора OQ2 = QB2 + OB2, или (1 + R)2 = R2 + (7 − R)2. После очевидных упрощений получим уравнение R2 − 16R + 48 = 0, учитывая, что R < 7, находим, что R = 4.
Если же точка O лежит между A и B (см. рис.), то аналогично получим, что R = 12.
Ответ: 4 или 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей касательной. Найдите радиус третьей окружности.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a ≥ r + R, общая внешняя касательная касается окружностей в точках A и B, то
Действительно, пусть O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точек O1 и O2 опустим перпендикуляры O1Q на прямую O2B. Из прямоугольного треугольника O1QO2 находим, что
Пусть x — радиус третьей окружности, C — её точка касания с прямой AB. по доказанному:
Возможны четыре случая.
1. Если точка C лежит между A и B (см. рис.), то AC + CB = AB, или 
Тогда 
откуда 
2. Если точка C лежит на продолжении отрезка AB (см. рис.), то CB − AC = AB, или 
Тогда 
откуда 
3 и 4. Если точка C совпадает с одной из точек A или B, а касание с соответствующей окружностью происходит внутренним образом. Тогда в случае внешнего касания с меньшей окружностью
В случае касания большей окружностью, 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Центр O окружности радиуса 4 принадлежит биссектрисе угла величиной 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки O до вершины угла равно 10.
Решение. Пусть Q — центр искомой окружности радиуса x, B — точка касания одной из сторон данного угла с вершиной A. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому ∠BAQ = 30°. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что AQ = 2QB = 2x. Рассмотрим случай внешнего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x + 4), откуда находим, что x = 2.
Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (4 + x), откуда x = 14.
Рассмотрим случай внутреннего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x − 4), откуда находим, что 
Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (x − 4), откуда x = 6.
Ответ: 2; 14; 
6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
6. 6.Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BC = 7, BD = 3.
Решение. Пусть центры окружностей O1 и O2. Ясно, что O1O2 — средняя линия треугольника ADC. Проведём отрезок AB. Углы ABC и ABD — вписанные, и каждый из них опирается на диаметр соответствующей окружности. Следовательно, ∠ABC = ∠ABD = 90°. Таким образом, точки C, B и D лежат на одной прямой. Возможны два случая: точки C и D лежат по разные стороны от точки B или по одну сторону от точки B (см. рис.).
В первом случае 
Во втором случае 
Ответ: 5 или 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 31 и 17, а расстояние между центрами окружностей равно 50.
Решение. Пусть центры окружностей — точки O1 и O2, а A и B — точки касания. Проведем через точку B прямую, параллельную O1O2. Точку пересечения этой прямой с O1A обозначим K. Треугольник KAB — прямоугольный.
Возможны два случая расположения окружностей и общей касательной.
Случай 1. Окружности лежат по одну сторону от касательной.
Случай 2. Окружности лежат по разные стороны от касательной.
Обозначим радиусы окружностей R и r, расстояние между центрами окружностей l. В первом случае AK = R − r, во втором случае AK = R + r. Из прямоугольного треугольника KAB находим:
в первом случае
во втором случае
Ответ: 48 или 14.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Расстояния от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров относятся как 2 : 5. Общая хорда имеет длину 
а радиус одной из окружностей в два раза больше радиуса другой окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.
Решение. Обозначим центры окружностей O1 и O2, один из концов общей хорды A, а точку пересечения общей хорды и прямой O1O2 обозначим K. Треугольники O1KA и O2KA прямоугольные с общим катетом AK, равным
Обозначим радиусы окружностей r и 2r. Поскольку числитель в левой части меньше знаменателя, равенство 
невозможно. Тогда 
Из этого уравнения находим: r2 = 7. Тогда 
и, значит, KO2 = 5.
В зависимости от взаимного расположения окружностей (см. рисунки) O1O2 = 2 + 5 = 7 или O1O2 = 5 − 2 = 3.
Ответ: 7 или 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружности радиусов 11 и 21 с центрами 
и 
соответственно касаются внешним образом в точке 
и 
— параллельные радиусы этих окружностей, причём 
Найдите 
Решение. Точки
и C лежат на одной прямой.
Возможны два случая. Первый случай: точки A и B лежат по одну сторону от прямой O1O2 (рис. 1). Отрезок MA параллелен прямой O1O2 (точка M принадлежит радиусу BO2), следовательно, O1O2MA — параллелограмм: AM = O1O2 = 32, O1A = O2M = 11, ∠O2MA = ∠AO1O2 = 60°.
В треугольнике AMB имеем MB = 10, AM = 32, ∠AMB = 120°, откуда
Второй случай: точки A и B лежат по разные стороны от отрезку O1O2 (рис. 1). Отрезок AM параллелен прямой O1O2 (точка M лежит на продолжении радиуса BO2 за точку O2), следовательно, O1O2MA — параллелограмм: AM = O1O2 = 32, O1A = O2M = 11, ∠O2MA = ∠AO1O2 = 60°.
В треугольнике AMB имеем MB = 32, AM = 32, ∠AMB = 60°, значит, треугольник AMB — правильный, откуда AB = 32.
Ответ: 32 или 38.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 1 и 3. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 14.
Решение. Пусть O — центр третьей окружности, A — точка касания первой и третьей окружностей, B — второй и третьей, C — третьей окружности и прямой O1O2. Точки O1, A и O лежат на одной прямой. Точки O2, B и O также лежат на одной прямой.
Пусть радиус третьей окружности равен x, тогда 
В прямоугольном треугольнике OCO1 имеем 
В прямоугольном треугольнике OCO2 имеем 
Возможны два случая. первый случай: точка С лежит между точками O1 и O2 (рисунок 1), тогда
откуда x = 12.
Второй случай: точка O1 лежит между точками C и O2 (рисунок 2), тогда
откуда x = 180.
Ответ: 12 или 180.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные графические конфигурации и получен правильный ответ. | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 2 и 10. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 28.
Решение. Пусть O — центр третьей окружности, A — точка касания первой и третьей окружностей, B — второй и третьей, C — третьей окружности и прямой O1O2. Точки O1, A и O лежат на одной прямой. Точки O2, B и O также лежат на одной прямой.
Пусть радиус третьей окружности равен x, тогда 
В прямоугольном треугольнике OCO1 имеем 
В прямоугольном треугольнике OCO2 имеем 
Возможны два случая. первый случай: точка С лежит между точками O1 и O2 (рисунок 1), тогда
откуда x = 15.
Второй случай: точка O1 лежит между точками C и O2 (рисунок 2), тогда
откуда x = 120.
Ответ: 15 или 120.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные графические конфигурации и получен правильный ответ. | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружности радиусов 11 и 21 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2 = 60°. Найдите AB.
Решение. Точки О1, О2 и C лежат на одной прямой.
Возможны два случая. Первый случай: точки A и B лежат по одну сторону от прямой O1O2 (рис. 1). Отрезок MA параллелен прямой O1O2 (точка M принадлежит радиусу BO2), следовательно, O1O2MA — параллелограмм: AM = O1O2 = 32, O1A = O2M = 11, ∠O2MA = ∠AO1O2 = 60°.
В треугольнике AMB имеем MB = 10, AM = 32, ∠AMB = 120°, откуда
Второй случай: точки A и B лежат по разные стороны от отрезку O1O2 (рис. 2). Отрезок AM параллелен прямой O1O2 (точка M лежит на продолжении радиуса BO2 за точку O2), следовательно, O1O2MA — параллелограмм: AM = O1O2 = 32, O1A = O2M = 11, ∠O2MA = ∠AO1O2 = 60°.
В треугольнике AMB имеем MB = 32, AM = 32, ∠AMB = 60°, значит, треугольник AMB — правильный, откуда AB = 32.
Ответ: 32 или 38.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружности радиусов 
и 
с центрами 
и 
соответственно касаются внутренним образом в точке 
и 
— параллельные радиусы этих окружностей, причём 
Найдите 
Решение. Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка
за точку 
Возможны два случая.
Первый случай. Точки 
и 
лежат по одну сторону от прямой 
Через точку проведём прямую, параллельную Пусть A — точка её пересечения с радиусом 
В треугольнике 
известно, что
Треугольник AMN — равносторонний, следовательно, 
Второй случай. Точки M и N лежат по разные стороны от прямой 
Пусть A — точка её пересечения с продолжением радиуса
В треугольнике MAN известно, что
По теореме косинусов:
Следовательно, 
Ответ: 10 или 38.
Приведём другое решение.
Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка
за точку Возможны два случая.
Первый случай. Точки и лежат по одну сторону от прямой Опустим перпендикуляры 
и MK на прямую 
следовательно, четырёхугольник 
— трапеция. Откуда 
Из треугольника 
Поскольку 
и
— прямоугольник. Откуда 
и 
В треугольнике MNK 
По теореме Пифагора:
Второй случай. Точки
и лежат по разные стороны от прямой Опустим перпендикуляры и MK на продолжение прямой Аналогично первому случаю, получаем, что 
откуда 
Из треугольника NMK по теореме Пифагора:
Примечание. Приведём авторское решение, оно неверно, поскольку 
не является параллелограммом.
Точки 
и K лежат на одной прямой. Возможны два случая. Первый случай: точки M и N лежат по одну сторону от прямой 
(рис. 1). Отрезок ML параллелен отрезку (точка L принадлежит радиусу ), следовательно, 
— параллелограмм: 
В треугольнике LMN имеем 
значит, треугольник LMN — правильный, откуда 
Второй случай: точки 
и N лежат по разные стороны от прямой (рис. 2). Отрезок ML параллелен отрезку (точка L лежит на продолжении радиуса за точку ), следовательно, 
— параллелограмм: 
В треугольнике LMN имеем 
откуда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Найдите CP.
Решение. Возможны два случая.
Первый случай: хорды PQ и CD не пересекаются (рис. 1), тогда ∠PQC = 180° − ∠PDC.
В треугольниках PQC и PDC
Значит, 
откуда 
Второй случай: хорды PQ и CD пересекаются (рис. 2), тогда 
В треугольниках PQC и PDC
откуда 
Ответ: 4 или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 10, CQ = 6. Найдите CP.
Решение. Решение.
Возможны два случая. Первый случай: точки D и Q лежат в разных полуплоскостях относительно прямой CP (рис. 1), тогда ∠PQC = 180° − ∠PDC.
В треугольниках PQC и PDC:
откуда 
Второй случай: точки D и Q лежат в одной полуплоскости относительно прямой CP (рис. 2), тогда ∠PQC = ∠PDC. В треугольниках PQC и PDC
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.
Решение. Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.
Первый случай. Пусть окружность с центром O1 имеет радиус r = 4, окружность центром O2 имеет радиус R = 9, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.
Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.
Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A || O2B, точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D = EF.
Кроме того,
Далее имеем:
Второй случай. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R = 9, окружность с центром O имеет радиус r = 4, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.
Аналогично случаю 1 имеем:
Ответ: 1,44 или 36.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами равно a причем r < R и r + R < a. Найдите AB.
Решение. Пусть O1 — центр окружности радиуса R, O2 — центр окружности радиуса r, A и B, соответственно, — точки касания окружностей с их общей внешней касательной, C и D, соответственно, — с внутренней, P — основание перпендикуляра, опущенного из O2 на O1A.
Из прямоугольного треугольника O1O2P находим, что
а так как APO2B — прямоугольник, то 
Пусть Q — основание перпендикуляра, опущенного из O1 на продолжение радиуса O2D.
Тогда 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.
Решение. Пусть окружность S с центром O и радиусом R пересекает стороны данного прямого угла в точках A и B, AC = 8, BC = 6, искомая окружность с центром Q касается сторон и BC угла ACB в точках N и K соответственно, а окружности S — в точке M.
Точка O — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, поэтому O — середина его гипотенузы AB.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки M, O и Q лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности S на прямую BC. Тогда OH — средняя линия треугольника ABC поэтому 
и 
а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то ∠QCK = 45°, поэтому CK = QK = r.
Опустим перпендикуляр QF из центра искомой окружности на прямую OH. Тогда
Предположим, что искомая окружность и окружность касаются внутренним образом. Тогда
Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ. По теореме Пифагора OQ2 = OF2 + QF2 или
откуда находим, что 
Если же искомая окружность касается данной внешним образом, то
Тогда из соответствующего уравнения (5 + r)2 = (4 − r)2 + (r − 3)2 находим, что r = 24.
Ответ: 4 или 24.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.
Решение. Пусть центры окружностей — точки O1 и O2, а A и B — точки касания. Проведем через точку B прямую, параллельную O1O2. Точку пересечения этой прямой с O1A обозначим K. Треугольник KAB — прямоугольный.
Возможны два случая расположения окружностей и общей касательной.
Случай 1. Окружности лежат по одну сторону от касательной.
Случай 2. Окружности лежат по разные стороны от касательной.
Обозначим радиусы окружностей R и r, расстояние между центрами окружностей l. В первом случае AK = R − r, во втором случае AK = R + r. Из прямоугольного треугольника KAB находим:
в первом случае
во втором случае
Ответ: 30 или 16.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружность радиуса 
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.
Решение. Пусть O1 — центр окружности радиуса 
— второй окружности, A — вершина прямого угла, тогда
Возможны два случая. Первый случай: точка O1 лежит между точками A и O2 (рис. 1), тогда O2A = O1A + O1O2 = 20, откуда радиус второй окружности 
В треугольнике O1MO2 имеем: 
Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.
Полупериметр треугольника O1MO2 равен 
тогда для площади треугольника имеем:
откуда 
Второй случай: точка O2 лежит между точками A и O1 (рис. 2), тогда O2A = O1A − O1O2 = 4, откуда радиус второй окружности 
В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 8, 
Аналогично первому случаю, высота MN треугольника O1MO2 равна половине MN.
В треугольнике O1MO2 полупериметр:
откуда 
Вычисления для второго случая можно упростить: поскольку длины OM, O2M и O1O2 являются пифагоровой тройкой, точка H совпадает с центром O2, а потому 
Приведём решение задачи методом координат.
Заметим, что центр окружности лежит на биссектрисе прямого угла, поэтому расстояние между центрами окружностей радиусов R и r равно 
где R > r. По условию это расстояние равно 8, поэтому если радиус большей окружности 
(случай 1), то:
а если радиус меньшей окружности 
(случай 2), то:
Поместим начало системы координат в вершине прямого угла, а координатные оси расположим вдоль его сторон. Тогда в случае 1 координаты точек пересечения окружностей можно найти из системы уравнений:
решая которую, находим: 
Тогда по формуле расстояния между двумя точками находим: 
откуда 
В случае 2 имеем систему уравнений:
решая которую, находим: 
Далее находим
откуда 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены всевозможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ. | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины. | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.
Решение. Пусть Q — центр искомой окружности радиуса х, М — точка касания с данной окружностью, В — точка касания с одной из сторон данного угла с вершиной А. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому ∠BAQ = 30°. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что AQ = 2QB = 2x. Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому AO = AQ + QM + MO, или 10 = 2x + x + 4, откуда находим, что x = 2.
Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),
тогда AQ = AO + OM + MQ, или 2x = 10 + x + 4, откуда x = 14.
Ответ: 2 или 14.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точки А и В лежат на окружности с центром О и радиусом 6, а точка С равноудалена от точек А, В и О. Другая окружность с центром Q и радиусом 8 описана около треугольника АСО.
а) Докажите, что точка пересечения прямых АВ и СQ лежит на окружности, описанной около треугольника ОСВ.
б) Найдите длину отрезка QB.
Решение. а) Пусть AB и CQ пересекаются в точке T. Треугольник AOB — равнобедренный. Треугольник ATO также равнобедренный, так как CT — серединный перпендикуляр к AO. Тогда
Поэтому точки B, O, T, C лежат на одной окружности.
б) Треугольник QCO — равнобедренный, поэтому
откуда 
По условию, QO = 8 и OB = 6. Значит, 
тогда QB = 10.
Ответ: б) 10.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Две окружности касаются внешним образом в точке A, через которую проведена их общая касательная, на которой отмечена точка B. Через точку B проведены две прямые: одна пересекает первую окружность в точках K и L (точка K находится между B и L), а другая — вторую окружность в точках M и N (точка M находится между B и N). Прямые KN и LM пересекаются в точке P.
а) Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.
б) Найдите отношение площадей треугольников KLP и MNP, если BL = 9, BM = 5, AB = 6.
Решение. а) Заметим, что по теореме о квадрате касательной
Значит, треугольники BKM и BNL подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем 
Отсюда 
Следовательно, четырехугольник KLNM вписанный, что и требовалось доказать.
б) Треугольники KPL и MPN подобны по двум углам, поэтому отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, то есть 
Пусть KL = x, MN = y, тогда по теореме о квадрате касательной получаем: 
Отсюда 
Таким образом,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 501692 | или |
| 2 | 507379 | или |
| 3 | 507380 | 4 или 12. |
| 4 | 507381 | |
| 5 | 507383 | 2; 14; 6. |
| 6 | 507385 | 5 или 2. |
| 7 | 507653 | 48 или 14. |
| 8 | 507780 | 7 или 3. |
| 9 | 510728 | 32 или 38. |
| 10 | 512885 | 12 или 180. |
| 11 | 512891 | 15 или 120. |
| 12 | 501712 | 32 или 38. |
| 13 | 501754 | 10 или 38. |
| 14 | 502077 | 4 или |
| 15 | 502097 | |
| 16 | 484607 | 1,44 или 36. |
| 17 | 484609 | или |
| 18 | 484616 | 4 или 24. |
| 19 | 484619 | 30 или 16. |
| 20 | 501609 | или |
| 21 | 484626 | 2 или 14. |
| 22 | 547304 | б) 10. |
| 23 | 560189 | |