Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Длины век­то­ров и равны и 5, а угол между ними равен 150°. Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Объем пер­во­го шара в 27 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Для под­твер­жде­ния скид­ки ма­га­зин от­прав­ля­ет по­ку­па­те­лю на те­ле­фон со­об­ще­ние с трёхзнач­ным кодом, ровно две из цифр ко­то­ро­го сов­па­да­ют. У Пети раз­ря­жен те­ле­фон. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что он слу­чай­но уга­да­ет код? Ответ округ­ли­те до ты­сяч­ных.

Тур­нир по на­столь­но­му тен­ни­су про­во­дит­ся по олим­пий­ской си­сте­ме: иг­ро­ки слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют­ся на иг­ро­вые пары; про­иг­рав­ший в каж­дой паре вы­бы­ва­ет из тур­ни­ра, а по­бе­ди­тель вы­хо­дит в сле­ду­ю­щий тур, где встре­ча­ет­ся со сле­ду­ю­щим про­тив­ни­ком, ко­то­рый опре­делён жре­би­ем. Всего в тур­ни­ре участ­ву­ет 16 иг­ро­ков, все они иг­ра­ют оди­на­ко­во хо­ро­шо, по­это­му в каж­дой встре­че ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша и по­ра­же­ния у каж­до­го иг­ро­ка равна 0,5. Среди иг­ро­ков два друга  — Иван и Алек­сей. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что этим двоим в каком-⁠то туре придётся сыг­рать друг с дру­гом?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те если

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны во­семь точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₈. Сколь­ко из этих точек лежит на про­ме­жут­ках воз­рас­та­ния функ­ции f(x)?

Плос­кий за­мкну­тый кон­тур пло­ща­дью на­хо­дит­ся в маг­нит­ном поле, ин­дук­ция ко­то­ро­го рав­но­мер­но воз­рас­та­ет. При этом со­глас­но за­ко­ну элек­тро­маг­нит­ной ин­дук­ции Фа­ра­дея в кон­ту­ре по­яв­ля­ет­ся ЭДС ин­дук­ции, зна­че­ние ко­то­рой, вы­ра­жен­ное в воль­тах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где α  — ост­рый угол между на­прав­ле­ни­ем маг­нит­но­го поля и пер­пен­ди­ку­ля­ром к кон­ту­ру,   — по­сто­ян­ная, S  — пло­щадь за­мкну­то­го кон­ту­ра, на­хо­дя­ще­го­ся в маг­нит­ном поле  (в  м²). При каком ми­ни­маль­ном угле α  (в  гра­ду­сах) ЭДС ин­дук­ции не будет пре­вы­шать

Сме­ша­ли 4 литра 15-⁠про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 6 лит­ра­ми 25-⁠про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ко­неч­но, вме­сто лит­ров сле­до­ва­ло бы го­во­рить о ки­ло­грам­мах рас­тво­ров.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны рёбра AB  =  35, AD  =  12, CC₁  =  21.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­ты тре­уголь­ни­ков ABD и A₁BD, про­ведённые к сто­ро­не BD, имеют общее ос­но­ва­ние.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и A₁DB.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 78 млн руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство х тыс. ед. про­дук­ции на таком за­во­де равны млн руб­лей в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене р тыс. руб­лей за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб­лей) за один год со­ста­вит Когда завод будет по­стро­ен, фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. При каком наи­мень­шем зна­че­нии р стро­и­тель­ство за­во­да оку­пит­ся не более, чем за 3 года?

Точка I  — центр окруж­но­сти S₁, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, точка O  — центр окруж­но­сти S₂, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BIC.

а)  До­ка­жи­те, что точка O лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла BAC, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC от­но­сит­ся к ра­ди­у­су окруж­но­сти S₂ как 3 : 5.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

В одном из за­да­ний на кон­кур­се бух­гал­те­ров тре­бу­ет­ся вы­дать пре­мии со­труд­ни­кам не­ко­то­ро­го от­де­ла на общую сумму 600 000 руб­лей (раз­мер пре­мии каж­до­го со­труд­ни­ка  — целое число, крат­ное 1000). Бух­гал­те­ру дают рас­пре­де­ле­ние пре­мий, и он дол­жен их вы­дать без сдачи и раз­ме­на, имея 100 купюр по 1000 руб­лей и 100 купюр по 5000 руб­лей.

а)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если в от­де­ле 40 со­труд­ни­ков и все долж­ны по­лу­чить по­ров­ну?

б)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если ве­ду­ще­му спе­ци­а­ли­сту надо вы­дать 40 000 руб­лей, а осталь­ные по­де­лить по­ров­ну на 70 со­труд­ни­ков?

в)  При каком наи­боль­шем ко­ли­че­стве со­труд­ни­ков в от­де­ле за­да­ние удаст­ся вы­пол­нить при любом рас­пре­де­ле­нии раз­ме­ров пре­мий?