PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
Найдите угол между векторами
и 
Ответ дайте в градусах.
Объем куба равен
Найдите его диагональ.
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решите уравнение 
Найдите значение выражения 
при 
Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону 
где t — время в секундах, амплитуда U0 = 2 В,
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
На рисунке изображён график функции
Найдите a.
Найдите точку максимума функции 
принадлежащую промежутку 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 6.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC1 равен 60°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.
Решите неравенство: 
Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
На доске написано n чисел ai (i = 1, 2, …, n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на ri%. При этом либо ri = 2%, либо число ai уменьшается на 2, то есть становится равным ai − 2 (какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то — на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn больше 2, при этом сумма чисел a1, a2 … an уменьшилась более чем на 2n?
в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r1, r2, …, rn.
и 
:
откуда 
и 
и 
Следовательно, 
— вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:
и 
состоят в том, что яйцо произведено в первом и втором хозяйствах соответственно. Тогда события 
и 
— события, состоящие в том, что яйцо высшей категории произведено в первом и втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:
яиц
яиц
яиц,
яиц
имеем 
Тогда 
и прямой 
задаётся системой требований:
должно иметь единственное решение, а значит, должен равняться нулю дискриминант уравнения 
Найдем его: 
или 
имеем: 
при заданных значениях амплитуды сигнала, частоты и фазы:
дохода семьи.
тогда 
тогда
получаем 
то 
тогда 
Следовательно, условию 
не удовлетворяют значения переменной, для которых 
одновременно. Поэтому серия 
даёт посторонние корни, а серия 
даёт решения заданного уравнения (см. рис.). Таким образом, 
б) 
Значит, высота 
Аналогично 
Кроме того, 
Значит, 
параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты 
тогда 
откуда 
Подставим координаты точек 
получим:
Плоскость α не проходит через начало координат, а потому коэффициент D можно положить любым, отличным от нуля. Пусть 
тогда уравнение плоскости имеет вид 
Расстояние между прямыми 
или 
тоже является решением неравенства. Рассмотрим случай 
:
решением неравенства будет 
и преобразуем неравенство:
при всех значениях x, получаем 
при условии 
или 
Значит,
значит, 
поэтому при 
корней нет, при 
получаем один корень 
при 
получаем два различных корня. У параболы 
— ветви вверх, абсцисса вершины равна 
то есть при 
а при 
один корень меньше −3, а другой — больше −3.
с учётом 
из 
получаем, что x = 4, a = −3.
Следовательно, 
Поскольку 
для всех i, то 
и их среднее арифметическое также не превосходит 4. Поэтому оно не может равняться 5.
и 
Их среднее арифметическое равно 3, что больше 2. При этом сумма чисел уменьшилась на 5, что больше, чем 
уменьшили на 
Поскольку каждое число не меньше 50, каждое из чисел уменьшили по крайней мере на 1 (
от 50 равно 1). Таким образом, сумму всех тридцати чисел уменьшили по крайней мере на 
По условию, сумму уменьшили ровно на 40. Следовательно, 
откуда 
и поскольку 
то 
Значит, 
равно 
Пусть все числа равны 50, и пусть 10 из этих чисел уменьшили на 2 
), а каждое из оставшихся двадцати чисел уменьшили на 
